30 Logarithmus und Exponentialgleichungen > Exponentialgleichungen 2 Eine Hefekultur wächst nach dem Gesetz H t = H 0 · a t, wobei H 0 für die Menge an Hefezellen am Anfang steht. Ht steht für die Anzahl der Hefezellen nach t Stunden. Berechne, nach welcher Zeit sich die Anzahl der Hefezellen verdoppelt hat. a) a = 1,59 b) a = 1,18 c) a = 1,04 d) a = 1,36 e) a = 1,22 Für die Anzahl N t von Bakterien nach t Stunden gilt N t = 5 000 ·1,25 t. a) Berechne, wie viele Bakterien nach drei Stunden vorhanden sind. b) Berechne, nach welcher Zeit sich die Anzahl der Bakterien verdoppelt hat. Die Gleichung Et = E 0 · a t (a > 1) beschreibt einen Wachstumsvorgang. E t gibt die vorhandene Menge nach t Zeiteinheiten an, E 0 die Menge am Anfang. Kreuze den Term an, mit dem die Verdopplungszeit berechnet werden kann. A 2 _ ln(a) B ln(2) _ a C ln(a) _ ln(2) D ln(2) _ ln(a) E a _ ln(2) Die Stärke von Erdbeben wird meist auf der Richterskala angegeben. Es wird der Ausschlag gemessen, den ein Erdbeben auf einem Messgerät (Seismograph) verursacht und die Magnitude M (Maß für die Stärke des Erdbebens) ermittelt. Für die bei einem Beben der Stärke M freigesetzte Energie E Min Kilojoule (kJ) gilt: EM= 63·10 1,5 · M. a) Bestimme die Energie, die bei einem Beben der Stärke 2 freigesetzt wird. b) Bei einem Beben wird eine Energie von 63 000 000 kJ gemessen. Ermittle die Magnitude M dieses Bebens. c) Vergrößert sich die Magnitude M um 2, erhöht sich die freigesetzte Energie um den Faktor 1 000. Begründe dies mithilfe der Rechenregeln für Potenzen. Der deutsche Psychologe Hermann Ebbinghaus (1850–1909) hat das menschliche Erinnerungsvermögen untersucht. Die sogenannte Vergessenskurve als ein Ergebnis seiner Forschungen wird durch die Gleichung Wt = 35 _ 1 − 0,65 · e−1,24 · t (t: Zeit in Stunden, Wt: vorhandenes Wissen nach t Stunden in Prozent) mathematisch beschrieben. a) Bestimme das 20 Minuten nach dem Lernen abrufbare Wissen in Prozent. b) Nach welcher Zeit sind noch 40 % des Erlernten abrufbar? Zusammenfassung Exponentialgleichung und Logarithmus Eine Gleichung der Art a x = bmit a, b ∈ ℝ + und a ≠ 1wird als Exponentialgleichung bezeichnet. Sie besitzt immer genau eine Lösung x ∈ ℝ. a x = b ⇔ x = log a bmit a ∈ ℝ +\{1}, b ∈ ℝ + Die Lösung x der Exponentialgleichung heißt Logarithmus von b zur Basis a (b wird dabei als Numerus bezeichnet). Rechenregeln für Logarithmen (a , b, c ∈ ℝ +, r ∈ ℝ) log a(b · c)= loga b + loga c log a(b : c)= loga b − log a c log a(b r)= r · log a b 140 AG-R 2.1 M2 141 AG-R 2.1 M1 142 143 144 Ó Technologie Lösen von logarithmischen Gleichungen + Arbeitsblatt h58p55 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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