29 Logarithmus und Exponentialgleichungen > Exponentialgleichungen Anwendungsaufgaben Für die Anzahl Bt einer bestimmten Bakterienart nach t Stunden gilt der Zusammenhang B t = 100 · 1,5 t. Berechne, nach wie vielen Stunden die Anzahl der Bakterien auf 5 000 gewachsen ist. 5000 = 100 · 1,5t |: 100 50 = 1,5t ln(50) = t · ln(1,5) ln(50) ___ ln(1,5) = t t ≈ 9,65 Stunden Man setzt für Bt die Anzahl der Bakterien nach t Stunden ein. Lösen der Exponentialgleichung durch Logarithmieren und Anwenden der Rechenregeln für Logarithmen. Nach rund 9,7 Stunden ist die Anzahl der Bakterien auf 5 000 angewachsen. Eine bestimmte Schimmelart vermehrt sich. A t = 2 · 1,067 t gibt die Fläche des Schimmels auf einem Nährboden in cm2 nach t Stunden an. Bestimme die Zeit, nach der die Schimmelfläche auf die angegebene Größe angewachsen ist. a) 10 cm 2 b) 3,8 cm 2 c) 9,5 cm 2 d) 15 cm 2 e) 5 cm 2 Ein radioaktives Element zerfällt nach der Formel N t = 1200 · 0,81 t. Dabei beschreibt N t die noch vorhandene Menge des radioaktiven Elements in Milligramm nach t Tagen. Berechne die Zeit, nach der noch die angegebene Menge vorhanden ist. a) 800 mg b) 1 000 mg c) 100 mg d) 550 mg e) 250 mg Jemand legt 3200 € auf ein mit 1,8 % pro Jahr verzinstes Sparbuch. K t = 3200 · 1,018 t beschreibt das Kapital nach t Jahren. Berechne die Zeit, in der das Kapital auf den angegebenen Betrag anwächst. a) 3 500 € b) 4 000 € c) 4 300 € d) 6 000 € e) 5 000 € Angenommen es gäbe eine Bank, bei der sich ein Sparguthaben wöchentlich verdoppelt. Würde jemand 1 € anlegen, wäre K t = 2 t das Kapital nach t Wochen. Berechne die Zeit, nach der der angelegte Euro auf 1 000 000 € angewachsen wäre. Ein Wachstumsprozess lässt sich durch die Formel N t = N 0 · a t beschreiben, wobei a > 1 gilt und N t die nach t Zeiteinheiten vorhandene Menge und N 0 die Menge am Anfang angeben. Drücke die Variable t durch N t, N 0 und a aus. Der Zusammenhang Nt = N 0 · 3 t beschreibt die Masse einer Hefekultur nach t Stunden. Bestimme die Verdopplungszeit. Nach t Stunden ist die Anfangsmasse N 0 auf 2 N0 angewachsen, d.h. Nt = 2N0. 2 N 0 = N 0 · 3 t |:N 0 2=3t ln(2) = t · ln(3) t ≈ 0,63 Stunden ≈ 38 Minuten Die Verdopplungszeit ist von der Anfangsmasse unabhängig. Lösen der Exponentialgleichung durch Logarithmieren. Nach rund 38 Minuten hat sich die Anfangsmasse verdoppelt. Muster 133 134 135 136 137 138 Muster 139 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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