Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

285 Beweise | Anhang Der Betrag des Vektorproduktes der Vektoren ​ ​_ À a ​= ​2 ​ xa y a za ​3 ​und ​ ​_ À b ​= ​2 ​ xb y b zb ​3 ​wird berechnet: ​| ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​| ​= ​| ​2 ​ xa y a za ​3 ​× ​2 ​ xb y b zb ​3 ​| ​= ​| ​2 ​ ya zb – za yb ‒ (xa zb – za xb) xa yb – ya xb ​3 ​| ​= = ​9 _______________________ ​2 ​y​a ​​z​b​ – ​z​a ​​y​b ​3​ 2​ + ​2 ‒ ​x​ a ​​z​b​ + ​z​a ​​x​b ​3​ 2​ + ​2 ​x​ a ​​y​b​ – ​y​a ​​x​b ​3​ 2 ​ = = ​9 __________________________ ​2 ​x​a​ 2​ + ​y​ a​ 2​ + ​z​ a​ 2 ​3 ​​2 ​x​ b​ 2​ + ​y​ b​ 2​ + ​z​ b​ 2 ​3​ – ​2 ​x​ a ​​x​b​ + ​y​a ​​y​b​ + ​z​a ​​z​b ​3​ 2​ = ​9 ________ ​ ​_ À a​2 ​· ​ ​_ À b​ 2 ​– (​​ ​_ À a ​· ​ ​_ À b​)​ 2 ​ = ​A​Para®®e®ogramm ​ q. e. d Vo®umen eines Para®®e®epipeds Ein Para®®e®epiped wird von 6 sechs Para®®e®ogrammen begrenzt, von denen je zwei gegenüber®iegende kongruent sind. V = ​| ​2 ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​3 ​· ​ ​_ À c ​|​ Das Vo®umen eines Para®®e®epipeds berechnet sich aus V = G · h. Für die Grundf®äche G des Epipeds gi®t: G = ​| ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​|​ Die Höhe h ist die Norma®projektion des Vektors ​ ​_ À c​auf den Vektor ​ ​ _ À a ​× ​ ​_ À b​: h = ​| ​ ​_ À c ​· ​2 ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​3​ 0 ​| ​= ​| ​ ​_ À c ​· ​ ​2 ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​3​ _ ​| ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​|​ ​|​ = ​ 1 _ ​| ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​|​ ​· ​| ​ ​_ À c ​· ​2 ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​3 ​|​ V = G · h = ​| ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​| ​· ​ 1 _ ​| ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​|​ ​· ​| ​ ​_ À c ​· ​2 ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​3 ​| ​= ​| ​ ​_ À c ​· ​2 ​ ​_ À a ​× ​ ​_ À b ​3 ​| ​ q. e. d. S. 176 Satz b c a b b h c a× a BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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