284 Beweise Anhang Beweise Vektoren im Raum Vektorprodukt (Kreuzprodukt) _ À a × _ À b = 2 xa y a za 3 × 2 xb y b zb 3 = 2 ya zb – za yb ‒ (xa zb – za xb) xa yb – ya xb 3 _ À a, _ À b * ℝ³ _ À a × _ À bstehen norma® auf _ À a und _ À b. Um zu zeigen, dass das Vektorprodukt _ À a × _ À b = 2 xa y a za 3 × 2 xb y b zb 3 = 2 ya zb – za yb ‒ (xa zb – za xb) xa yb – ya xb 3 norma® auf die beiden Ausgangsvektoren _ À a = 2 xa y a za 3 und _ À b = 2 xb y b zb 3 steht, verwendet man das Orthogona®itätskriterium und zeigt, dass die Ska®arprodukte ( _ À a × _ À b) · _ À a und ( _ À a × _ À b) · _ À b nu®® ergeben. ( _ À a × _ À b) · _ À a = 2 ya zb – za yb ‒ (xa zb – za xb) xa yb – ya xb 3 2 xa y a za 3 = (ya zb – za yb) xa + (‒ xa zb + za xb) ya + (xa yb – ya xb) za = = ya zb xa – za yb xa – xa zb ya + za xb ya + xa yb za – ya xb za = 0 ( _ À a × _ À b) · _ À b = 2 ya zb – za yb ‒ (xa zb – za xb) xa yb – ya xb 3 2 xb y b zb 3 = (ya zb – za yb) xb + (‒ xa zb + za xb) yb + (xa yb – ya xb) zb = = ya zb xb – za yb xb – xa zb yb + za xb yb + xa yb zb – ya xb zb = 0 q. e. d Die Eigenschaften des Vektorproduktes Der Betrag des Vektorproduktes ist genauso groß wie der F®ächeninha®t des Para®®e®ogramms, das von den Ausgangsvektoren aufgespannt wird: A = | _ À a × _ À b | Für den Beweis wird die vektorie®®e F®ächenforme® eines Dreiecks verwendet: Für den F®ächeninha®t des von _ À a und _ À baufgespannten Dreiecks gi®t ADreieck = 1 _ 2 · 9 ________ _ À a2 · _ À b 2 – ( _ À a · _ À b) 2 Daher gi®t für die F®äche des von _ À a und _ À baufgespannten Para®®e®ogramms: APara®®e®ogramm = 9 ________ _ À a2 · _ À b 2 – ( _ À a · _ À b) 2 q. e. d 10 S. 173 Satz BEWEIS S. 174 Satz BEWEIS b a b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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