279 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten > Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen Durch Untersuchungen weiß man, dass 30 % der Kandidatinnen und Kandidaten einer Eignungsprüfung für den Beruf geeignet sind. 10 % der geeigneten Kandidatinnen und Kandidaten und 95 % der ungeeigneten Kandidatinnen und Kandidaten bestehen die Eignungsprüfung nicht. Interpretiere das angegebene Ereignis E im Kontext und berechne dessen Wahrscheinlichkeit. g: für Beruf geeignet ¬g: für Beruf nicht geeignet b: Test bestanden ¬b: Test nicht bestanden a) 1) E : b|g 2) E : g ∧ b 3) E : g|b b) 1) E : ¬b|¬g 2) E : ¬ g ∧ ¬ b 3) E : g|¬b In einer Urne befinden sich 1 000 faire Münzen, die auf der einen Seite „Kopf“ und auf der anderen Seite „Zahl“ zeigen. Nun wirft man eine unfaire Münze dazu, die auf beiden Seiten „Kopf“ zeigt. Man mischt alle Münzen gut durch und zieht danach zufällig eine Münze, ohne diese anzusehen. Mit dieser Münze wirft man nun siebenmal und erhält siebenmal „Kopf“! Die Wahrscheinlichkeit mit einer fairen Münze siebenmal „Kopf“ zu werfen ist sehr unwahrscheinlich, nämlich ( 1 _ 2) 7 = 0,0078125. Heißt das nun, dass man ziemlich sicher die unfaire Münze gezogen hat? Um das zu überprüfen berechne folgende Wahrscheinlichkeiten: 1) Die Wahrscheinlichkeit eine faire Münze gezogen zu haben unter der Bedingung „siebenmal Kopf“ zu werfen. 2) Die Wahrscheinlichkeit eine unfaire Münze gezogen zu haben unter der Bedingung „siebenmal Kopf“ zu werfen. 3) Zu diesem vielleicht überraschenden Ergebnis – und wie es bei Gericht dadurch zu gravierenden Fehleinschätzungen kommen kann – findest du einiges im Internet unter dem Begriff „Trugschluss des Anklägers“. Recherchiere zu diesem Begriff im Internet. Zusammenfassung Multiplikationsregel (in der Graphik rot) Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „A und B“ zu bestimmen, werden im Wahrscheinlichkeitsbaum die Wahrscheinlichkeiten entlang des Weges zum Ereignis „A und B“ multipliziert. P(A und B) = P(A ∧ B) = P(A) · P(B|A) Additionsregel (in der Graphik oben grün) P((A‘ und B) oder (A‘ und B‘)) = P(A‘∧ B) + P(A‘∧ B‘) = P(A‘) · P(B|A‘) + P(A‘) · P(B‘|A‘) Entsprechen einem Ereignis mehrere Wege im Baumdiagramm, so werden die Wahrscheinlichkeiten entlang der Wege addiert. Satz von der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) = P(A ∧ B) _ P(A) Satz von Bayes P(A|B) = P(A ∧ B) _ P(B) = P(A) · P(B|A) _______________ P(A) · P(B|A) + P(A‘) · P(B|A‘) 1070 1071 P(A) P(A ? B) P(A ? B‘) P(A‘ ? B) P(A‘ ? B‘) P(B‡A) B B B‘ B‘ P(B‘‡A) P(B‡A‘) P(B‘‡A‘) P(A‘) A A‘ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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