277 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten > Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen Satz von Bayes Um bedingte Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, die nicht direkt einem Ast im Baumdiagramm entsprechen, verwendet man den Satz von Bayes. Satz von Bayes P(A|B) = P(B ∧ A) _ P(B) = P(A) · P(B|A) _______________ P(A) · P(B|A) + P(A‘) · P(B|A‘) wobei man annimmt, dass P (B ∧ A) = P(A ∧ B). Zwölf Wochen nach einer möglichen Infizierung erkennt der ELISA-Test zwar 95 % aller an HIV Infizierten, zeigt jedoch auch bei 0,49 % der Nicht-Infizierten ein positives Ergebnis. In Österreich sind derzeit rund 0,17 % der Menschen mit dem HIV-Virus infiziert. Jemand hat einen positiven Test. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person tatsächlich infiziert ist. Gefragt ist also die Wahrscheinlichkeit P(i|p). Diese kann man aus dem Baumdiagramm nicht direkt ablesen. Man kann sie aber berechnen. P(i|p) = P(i ∧ p) _ P(p) (Satz von der bedingten Wahrscheinlichkeit) P(i ∧ p) kann man aus dem Baum berechnen: P(i ∧ p) = 0,0009 · 0,95 = 0,000855 Die Wahrscheinlichkeit P(p), dass der Test positiv ausfällt, entspricht zwei Wegen (rot) im Baumdiagramm. P(p) = P(i) · P(p|i) + P(¬ i) · P(p|¬i) = 0,0009 · 0,95 + 0,9991 · 0,0049 = 0,00575 Daraus erhält man: P(i|p) = P(i ∧ p) _ P(p) = 0,000855 _____ 0,00575 ≈ 0,1487. Die Wahrscheinlichkeit bei einem positiven Testergebnis infiziert zu sein, beträgt also nur 15 %. Die geringe Wahrscheinlichkeit mag vielleicht überraschen. Betrachtet man das Beispiel mit absoluten Zahlen, so kann man das Ergebnis besser verstehen. Es gibt derzeit ca. 8,5 Mio Österreicher und Österreicherinnen. Davon sind 0,09 % mit dem HIV-Virus infiziert, das sind ca. 0 , 0009 · 8, 5 · 106 = 7650Einwohner. Ein positives Testergebnis erhält man bei 95 % der Infizierten (0,95 · 7650 ≈ 7268Personen) und bei 0,49 % der Nicht-Infizierten (0,0049 · 8 500 000 = 41 650Personen), also bei insgesamt 48 918 Einwohnern. Der Anteil der infizierten Personen mit positiven Test an allen positiven Tests ist also eher gering: 7268 : 48 918 ≈ 0,15 = 15 %. Merke Muster 1064 grün: Wahrscheinlichkeiten aus der Angabe P(p‡i) = 0,95 P(p‡¬ i) = 0,0049 P(i ? p) = 0,0009 · 0,95 P(¬ i ? p) P(i) = 0,09 % = 0,0009 P(¬ i) = 0,9991 i p n p n ¬ i i infiziert ¬ i nicht infiziert p Test positiv n Test negativ 7268 infiziert und Test positiv 48 918 Test positiv 7650 infiziert A P(A) P(A‘) B P(B‡A) P(A ? B) P(A ? B‘) P(A‘ ? B) P(A‘ ? B‘) P(B‘‡A) P(B‡A‘) P(B‘‡A‘) B‘ B B‘ A‘ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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