275 15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen Lernziele: º Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen können (WS-L 2.5) º Den Satz von Bayes anwenden können Bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm In einem Betrieb arbeiten 20 Männer (M) und 80 Frauen (F). 40 % der Männer und 70 % der Frauen gaben an, ihren Urlaub in Österreich zu verbringen (Ö). Die Abbildung zeigt das passende Baumdiagramm. Die angegebene Wahrscheinlichkeit der grünen Äste sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. P(Ö|M) = 0, 4ist z.B. die Wahrscheinlichkeit, den Urlaub in Österreich zu verbringen unter der Bedingung, ein Mann zu sein. Da man die Wahrscheinlichkeit, ein Mann zu sein und den Urlaub in Österreich zu verbringen, folgendermaßen berechnet: P (M ∧ Ö) = 0,2 · 0,4 = P(M) · P(Ö|M), ergibt sich für die bedingte Wahrscheinlichkeit die Formel: Satz von der bedingten Wahrscheinlichkeit In einer Schule wurden 920 Jugendliche und 80 Lehrpersonen zum Thema „social media“ befragt. 84 % aller Befragten gaben an, Jugendlicher zu sein und „Instagram“ zu benutzen und 5 % der Befragten gaben an, Lehrperson zu sein und „Instagram“ nicht zu benutzen. a) Bestimme den Anteil der Jugendlichen, die „Instagram“ benutzen. b) Bestimme den Anteil der Lehrpersonen, die „Instagram“ benutzen. a) Der Anteil der Jugendlichen, die Instagram benutzen, bezeichnet man mit der bedingten Wahrscheinlichkeit P (in|J). P(in|J) kann man aus dem Multiplikationssatz berechnen: 0, 92 · P(in|J) = 0,84 ⇒ P(in|J) ≈ 0, 91 Ca. 91 % der Jugendlichen benutzen Instagram. b) Um den Anteil P (in|L) der Lehrpersonen, die Instagram benutzen, zu berechnen, muss man zunächst den Anteil der Lehrpersonen, die Instagram nicht benutzen, aus der Angabe berechnen: 0 ,08 · P(¬ in|L) = 0,05 ⇒ P(¬ in|L) = 0, 05 _ 0, 08 = 0, 625 Da alle Äste, die von einem Punkt ausgehen, zusammen die Wahrscheinlichkeit 1 haben, ergibt sich für P (in|L) = 1 − 0,625 = 0,375. 37,5 % der Lehrpersonen nutzen also Instagram. Kompetenzen Merke Muster 1058 0,4 = P(Ö‡M) P(Ö ? M) = 0,2 · 0,4 = 0,08 0,6 = P(¬ Ö‡M) P(M) = 0,2 P(F) = 0,8 F M Ö ¬ Ö Ö ¬ Ö 0,7 = P(Ö‡F) 0,3 = P(¬ Ö‡F) P(A und B) = P(A ∧ B) = P(A)· P(B|A) P (B|A) = P(A ∧ B) _ P(A) 0,92 0,08 J in P(J ? in) = 0,84 P(L ? ¬ in) = 0,05 ¬ in in ¬ in P(in‡J) P(in‡L) 0,625 = P(¬ in‡L) L P(A und B) = P(A ? B) = P(A) · P(B‡A) P(A) P(A‘) A B B B‘ B‘ P(B‡A) P(B‘‡A) P(B‡A‘) P(B‘‡A‘) A‘ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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