274 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten > Die Additionsregel In einer Urne befinden sich eine rote und zwei weiße Kugel. Aus dieser Urne wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit mindestens eine weiße Kugel zu ziehen auf drei verschiedenen Arten: 1) mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit 2) mit Hilfe aller passenden Wege im Baumdiagramm 3) durch Zusammenfassen geeigneter Wege im Baumdiagramm 1) Das passende Gegenereignis ist „keine weiße Kugel ziehen“. Daraus folgt die Berechnung: P(mindestens eine weiße) = 1 – P(keine weiße) = 1 − 1 _ 3 · 1 _ 3 = 1 − 1 _ 9 = 8 _ 9 2) In der nebenstehenden Abbildung sind alle passenden Wege im Baumdiagramm eingezeichnet. Daraus folgt die Berechnung: P(mindestens eine weiße) = 1 _ 3 · 2 _ 3 + 2 _ 3 · 1 _ 3 + 2 _ 3 · 2 _ 3 = 8 _ 9 3) Die zweite Abbildung zeigt zwei blaue Äste, die eine besondere Eigenschaft haben: sie gehen von einem Knotenpunkt aus und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ergibt eins. Daher haben die beiden Wege auf der rechten Seite des Baumdiagramms zusammen die Wahrscheinlichkeit 2 _ 3. 2 _ 3 · 1 _ 3 + 2 _ 3 · 2 _ 3 = 2 _ 3 · ( 1 _ 3 + 2 _ 3) = 2 _ 3 · 1 = 2 _ 3 Daraus folgt die Berechnung: P(mindestens eine weiße) = 1 _ 3 · 2 _ 3 + 2 _ 3 = 8 _ 9 Aus einer Gruppe von a) 3 Buben und 4 Mädchen b) 4 Buben und 3 Mädchen c) 3 Buben und 5 Mädchen werden zufällig zwei Personen ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Mädchen auszuwählen 1) mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit. 2) mit Hilfe aller passenden Wege im Baumdiagramm. 3) durch Zusammenfassen geeigneter Wegeim Baumdiagramm. Ein elektronisches Gerät besteht aus zwei Bauteilen A und B. Bei der Qualitätskontrolle wird zuerst Bauteil A und danach Bauteil B kontrolliert. Im nebenstehenden Baumdiagramm sind alle möglichen Wahrscheinlichkeiten für die Kontrolle eines Gerätes eingezeichnet. Ein Gerät gilt als defekt, wenn mindestens ein Bauteil defekt ist. Ordne den Ereignissen die passenden Wahrscheinlichkeiten zu. 1 Mindestens ein Bauteil ist defekt. A 0,02 + 0,99 2 Kein Bauteil ist defekt. B 0,98 + 0,99 3 Höchstens ein Bauteil ist defekt. C 1 − 0,02 · 0,01 4 Bauteil A ist defekt und Bauteil B ist o.k. D 0,98 · 0,99 E 0,02 + 0,98 · 0,01 F 0,99 · 0,02 Muster 1055 1 – 3 2 – 3 2 – 3 1 – 3 2 – 3 1 – 3 1 – 3 2 – 3 2 – 3 1 – 3 2 – 3 1 – 3 r r w r ... rote Kugel w ... weiße Kugel w r w r r w w r w 1056 WS-R 2.3 M1 1057 ó B defekt A defekt A o.k. 0,98 0,02 0,99 0,01 0,01 0,99 B defekt B o.k. B o.k. Ó Arbeitsblatt mehrstufige Zufallsversuche w9y6v7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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