265 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten > Die Multiplikationsregel Multiplikationsregel und Baumdiagramm Das Erstellen eines Ereignisbaumes, der zu einem Zufallsversuch alle möglichen Ereignisse liefert, kann sehr aufwendig werden. Mehr Übersicht bietet der Wahrscheinlichkeitsbaum. Diese Darstellungsart wird oft auch als Baumdiagramm bezeichnet. Anhand eines Beispiels wird gezeigt, wie der Ereignisbaum auf einen Wahrscheinlichkeitsbaum reduziert werden kann. Aus einer Urne, in der sich zwei blaue und eine rote Kugel befinden, wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis (r, b, b) (=zuerst eine rote und dann eine blaue und dann noch eine blaue Kugel zu ziehen) wird durch Berechnung der günstigen und der möglichen Ereignisse bestimmt. 1. Zug Ereignisbaum 2. Zug 3. Zug r r r r r r r r r r r b1 b1 b1 b1 b1 b1 b1 b1 b1 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 r r b1 b2 b2 b2 b1 b1 b1 b2 Die Anzahl aller möglichen Versuchsausgänge beträgt m = 3 · 3 · 3 = 27. Die Anzahl aller günstigen Versuchsausgänge beträgt g = 1 · 2 · 2 = 4. Für die Wahrscheinlichkeit erhält man: P(r, b, b) = g _ m = 1 · 2 · 2 _ 3 · 3 · 3 = 1 _ 3 · 2 _ 3 · 2 _ 3. Man erkennt, dass die Wahrscheinlichkeit für (r, b, b) auch durch die Multiplikation von Einzelwahrscheinlichkeiten ermittelt werden kann. P(r, b, b) = P(beim 1. Zug rot) · P(beim 2. Zug blau) · P(beim dritten Zug blau) Daraus ergibt sich folgendes Baumdiagramm, in dem jeder Weg mit den entsprechenden (bedingten) Wahrscheinlichkeiten beschriftet wird. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Weges zu diesem Ereignis. P(r, b, b) = P(r) · P(b|r) · P(b|(r ∧ b)) = 1 _ 3 · 2 _ 3 · 2 _ 3 = 4 _ 27 Multiplikationsregel Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch erhält man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis durch Multiplikation der (bedingten) Wahrscheinlichkeiten der Teilversuche. Im Wahrscheinlichkeitsbaum entspricht das der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Weges. Sprachlich werden die Teilversuche mit „und“ verknüpft: P(E 1 und E4) = P(E 1 ∧ E 4) = P(E 1) · P(E 4| E 1). r 1. Zug 2. Zug 3. Zug b b b b b b b r P(r, b, b) = P(r und b und b) = P(r ? b ? b) = · · Baumdiagramm r r r r r 1 – 3 1 – 3 1 – 3 1 – 3 1 – 3 1 – 3 1 – 3 1 – 3 2 – 3 2 – 3 2 – 3 2 – 3 2 – 3 2 – 3 2 – 3 2 – 3 2 – 3 Merke Baumdiagramm Weg E1 E4 E5 p(E1) E6 E7 E8 E9 p(E4|E1) P(E1 ? E4) = P(E1) · P(E4|E1) E2 E3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=