Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

26 Logarithmus und Exponentialgleichungen > Logarithmus 2 Bestimme die Lösung der Exponentialgleichung. a) ​10 ​x ​= 3 ​ b) ​e ​x ​= 5​ a) Man gibt die Lösung in logarithmischer Schreibweise an und berechnet den Wert mit Technologie: ​x = ​log​10 ​3 = lg3 ≈ 0,4771​ b) Für die Lösung der Gleichung gilt: x​ = ​log​e ​5 = ln5 ≈ 1,6094​ Bestimme die Lösung der Exponentialgleichung mit Technologie. a) ​10 ​x ​= 0,5​ b) ​10 ​x ​= ​1 _ 20 ​ c) ​10 ​ x ​= 2,5​ d) ​e ​x ​= 0,45​ e) ​e ​x ​= 1,8​ f) ​e ​x ​= ​2 _ 3 ​ Rechenregeln für Logarithmen Für das Rechnen mit Logarithmen kann man durch Anwendung der Potenzregeln die folgenden Zusammenhänge erkennen. Rechenregeln für Logarithmen (a​ , b, c ∈ ​ℝ ​+​, r ∈ ℝ​) ​log ​a​(b · c) ​= ​log​a ​b + ​log​a ​c​ ​log ​a​( ​ b _ c ​) ​= ​log​a ​b − ​log ​a ​c​ ​log ​a​(​b ​ r​) ​= r · ​log​ a ​b​ Da Logarithmen Exponenten darstellen, können die Regeln für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Logarithmen von den Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Dazu verwendet man den Zusammenhang ​a​​log ​a​b ​= b​bzw. ​a​​log ​a​c ​= c​. Im Ausdruck ​log​a​(b · c) ​werden die Faktoren durch die entsprechenden Potenzen ersetzt: ​log ​a​(b · c) ​= ​log​a​(​a ​ ​log ​a​b ​· ​a ​​log ​a​c​)​ Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert: ​log​ a​(b · c) ​ = loga​(​a ​ ​log ​a​b ​· ​a ​​log ​a​c​) ​= ​log​ a ​​a ​ ​log ​a​b + ​log​a​c​ = ​log ​a ​b + ​log​a ​c ​(da l​og ​a ​​a ​ x ​= x)​ Zeige die Gültigkeit der Rechenregel für Logarithmen. (a​ , b, c ∈ ​ℝ ​+​, r ∈ ℝ​) a) ​log ​a​( ​ b _ c ​) ​= ​log​a ​b − ​log ​a ​c​ b) ​log ​a​(​b ​ r​) ​= r · ​log​ a ​b​ Der Einfachheit halber wird in den folgenden Beispielen die Basis bei den Logarithmen weggelassen. Schreibe als Summe bzw. Differenz von Logarithmen an. Verwende die Rechenregeln für Logarithmen. a) ​log​( ​4 ​x ​ 3​ _ y ​z ​5​ ​) ​ b) ​log ​ 3 9 _ x ​y ​ 2 ​ a) ​log​( ​4 ​x ​ 3​ _ y ​z ​5​ ​) ​ = log​(4 ​x ​ 3​) ​− log​(y ​z ​5​) ​= log4 + log ​x​3 ​− ​(logy + log ​z​5​)​ = log4 + 3 logx − log y − 5 log z​ b) ​log ​ 3 9 _ x ​y ​ 2 ​ = log ​(x ​y ​2​) ​ ​1 _ 3 ​ ​= ​ 1 _ 3 ​log​(x ​y ​ 2​) ​= ​1 _ 3 ​(logx + log ​y​ 2​) ​= ​1 _ 3 ​(logx + 2 logy)​ Tipp: Die Logarithmen der Faktoren im Zähler haben positive, die Logarithmen der Faktoren im Nenner immer negative Vorzeichen. Schreibe als Summe bzw. Differenz von Logarithmen an. a) ​log​(ab)​ b) ​log​( ​a _ b ​)​ c) ​log​(2 ​b ​ 3​)​ d) ​log​(​a ​3 ​​b ​4​)​ e) ​log​( ​​a ​ 4​ _ ​b ​2​ ​)​ f) ​log​( ​ 3 a b​ ​7​ _ ​c ​4​ ​)​ g) ​log​( ​ a + b _ c − d ​)​ Muster 115 116 Merke 117 Muster 118 119 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==