246 14.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff Lernziele: º Methoden zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeitswerten anwenden können º Wahrscheinlichkeiten interpretieren können º Das Gesetz der großen Zahlen kennen Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: WS-R 2.2 R elative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können WS-R 2.3 W ahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können In 14.1 wurde beschrieben, was man unter einem Zufallsversuch und Ereignissen (in Worten und in Mengenschreibweise) versteht. Der intuitive Begriff von Wahrscheinlichkeit soll nun in eine Zahl gegossen werden, Intuitives also mathematisch erfasst werden. Dafür müssen zuerst der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ definiert und interpretiert und entsprechende Schreibweisen vereinbart werden. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Ereignisse mit Großbuchstaben bezeichnet, z.B. E. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt, beschreibt man mit P (E). Dabei kommt der Buchstabe P vom lateinischen Wort „probabilitas“ (Wahrscheinlichkeit). Wahrscheinlichkeit Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für eine Erwartung und wird in der Mathematik mit einer reellen Zahl von 0 bis 1 beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil/Laplace-Wahrscheinlichkeit Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es gibt endlich viele Versuchsausgänge und für den Grundraum gilt: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Man interessiert sich dafür, welches der folgenden Ereignisse am wahrscheinlichsten ist: E 1: Es kommt eine gerade Zahl. E 3: Es kommt eine Zahl kleiner oder gleich vier. E 2: Es kommt eine Zahl, die größer als vier ist. E4: Es kommt eine Primzahl. Die einzelnen Mengenschreibweisen lauten: E 1 = {2, 4, 6} → E 1 hat drei Elemente E 3 = {1, 2, 3, 4} → E 3 hat vier Elemente E 2 = {5, 6} → E 2 hat zwei Elemente E 4 = {2, 3, 5} → E 4 hat drei Elemente Als Maß für die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der einzelnen Ereignisse werden die relativen Anteile der Anzahl der Elemente der einzelnen Ereignisse und der des Grundraums gebildet: P(E 1) = 3 _ 6 = 1 _ 2 P(E 2) = 2 _ 6 = 1 _ 3 P(E 3) = 4 _ 6 = 2 _ 3 P(E 4) = 3 _ 6 = 1 _ 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis E3 eintritt, ist demnach mit 2 _ 3 am größten. Betrachtet man für den obigen Grundraum die einzelnen Elementarereignisse und bestimmt deren Wahrscheinlichkeiten erkennt man, dass die Wahrscheinlichkeiten für deren Eintreten alle gleichwahrscheinlich sind, nämlich jeweils 1 _ 6. Bei gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen spricht man von einem Laplace-Versuch und von Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Kompetenzen Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=