235 Beschreibende Statistik > Statistische Kennzahlen Die Standardabweichung Mit Hilfe der Spannweite oder des Quartilabstands kann man Aussagen über die Verteilung von statistischen Daten treffen. Ein weiteres wichtiges Streuungsmaß ist die Standardabweichung. Möchte man z.B. ein Maß für die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert der Liste 2, 3, 5, 7, 13 berechnen, könnte man wie folgt vorgehen: Zuerst wird das arithmetische Mittel berechnet: _ x = 6 Dann werden die einzelnen Abweichungen vom Mittelwert addiert und durch die Datenanzahl dividiert: (2 − 6) + (3 − 6) + (5 − 6) + (7 − 6) + (13 − 6) ______________________ 5 = 30 − 5 · 6 _ 5 = 0 Um dieses offensichtliche Problem zu vermeiden, nämlich, dass sich die negativen und positiven Abweichungen vom arithmetischen Mittel aufheben, verwendet man einen „Trick“. Man quadriert die einzelnen Abweichungen, anschließend wird ihre Summe und die Quadratwurzel daraus gebildet. Diese Größe wird Standardabweichung (σ) genannt. Es ist zu beachten, dass σ ein Streuungsmaß, aber nicht die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert, ist. σ = 9 _________________________ (2 − 6) 2 + (3 − 6) 2 + (5 − 6) 2 + (7 − 6) 2 + (13 − 6) 2 _________________________ 5 ≈ 3, 9 Die empirische Standardabweichung Die empirische Standardabweichung (σ) ist ein Streuungsmaß. Sie beschreibt, wie stark Daten um das arithmetische Mittel streuen (d.h. abweichen). Sind die Daten x1, x 2, x 3, ..., xn und ihr arithmetisches Mittel _ xgegeben, dann gilt für die empirische Standardabweichung: σ = 9 ______________________ (x 1 − _ x ) 2 + (x 2 − _ x ) 2 + (x 3 − _ x ) 2 + ...+(x n − _ x ) 2 ______________________ n Es ist allerdings auch möglich den Verschiebungssatz für die Varianz (Quadrat der Standardabweichung, σ 2) zu nutzen, um die Standardabweichung zu berechnen. Es gilt: σ 2 = x 1 2 + x 2 2 + ...+x n 2 _ n − _ x 2 Manchmal wird die empirische Standardabweichung auch so definiert, dass im Nenner n − 1 steht. Bei großen Datenmengen ist der Unterschied sehr klein. Die Standardabweichung einer bereits definierten Liste l G Standardabweichung(l) l = {3,5,7,8} Standardabweichung(l) 1.92 C Statistik-Anwendung → Menüleiste/Calc/Eindim. Variable → OK T stDevPop(l) l: = {3,5,7,8} stDEVSamp(l) 1.92 Berechne für die Daten die Standardabweichung. a) 6, 4, 9, 5, 7, 11, 5, 3, 7, 5, 4 d) 45, 49, 47, 48, 49, 50, 53, 53, 47, 47, 44, 43 b) 13, 14, 13, 13, 13, 14, 13, 13, 14 e) 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 c) 123, 127, 125, 127, 127, 135, 135, 137 f) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 105, 105, 105, 105, 105, 105 Die Körpergrößen der Mitglieder einer Jugendgruppe werden ermittelt. Berechne den Modus, den Mittelwert und die Standardabweichung. Rangliste (in cm): 150, 152, 152, 153, 155, 157, 159, 160, 160, 161, 163, 164, 165, 165, 165, 168, 170, 172, 173, 175, 175, 177, 180, 183, 183, 184, 186 Merke Technologie Ó Technologie Anleitung Standard- abweichung bestimmen b7ge7d 904 905 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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