210 Ebenen im Raum > Abstandsberechnungen 12 Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Aufgabe: Bestimme den Abstand d zwischen P und g. P = (− 3|0|2) P g Richtungsvektor von g g : X = ( − 4 3 3 ) + s · ( − 2 1 0 ) Vorgehensweise: Mit Hilfe des Richtungsvektors von g stellt man eine auf g normale Hilfsebene e durch den Punkt P auf. Dann schneidet man g und e um den Schnittpunkt S zu erhalten. Der Abstand | ⇀SP | ist der Abstand d. P 90° Gerade g Hilfsebene e Normalvektor von e Normalabstand Punkt-Gerade S Schritt 1: Man stellt eine auf g normale Hilfsebene e auf. e : ( − 2 1 0 )( x y z ) = ( − 2 1 0 )( − 3 0 2 ) ⇒ e : − 2x + y = 6 Schritt 2: Man bestimmt den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Hilfsebene e. − 2 (− 4 − 2s) + (3 + s) = 6 ⇒ s = − 1 ⇒ S = (− 2|2|3) Schritt 3: Man berechnet | ⇀SP |. d = | ⇀SP | = 9 _ 6 Abstand P von g Bestimme den Abstand des Punktes A von der Geraden h. a) A = (0|2|1); g : X = ( − 1 3 2 ) + s · ( 1 − 1 2 ) b) A = (− 6|3|1); g : X = ( − 1 1 2 ) + s · ( 0 1 2 ) Abstand Punkt-Gerade GAbstand(Punkt, Objekt) Abstand((1, 2, 3), X = (2, 1, 2) + λ (0, 0, 1)) d = 1,41 A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme die Längen der Höhen 1) h a 2) h b 3) h c. a) A = (− 1|3|3), B = (− 4|−5|1), C = (− 3|0|−1) c) A = (5|1|5), B = (4|−5|−3), C = (− 2|−1|2) b) A = (0|0|−4), B = (− 2|0|8), C = (− 3|−2|−1) d) A = (− 1|−1|2), B = (1|−5|1), C = (1|−3|0) Bestimme den Abstand des Punktes P von der Geraden g und spiegle ihn an der Geraden g. a) P = (− 4|5|−1); g : X = ( 1 − 3 5 ) + s · ( 2 − 3 2 ) b) P = (− 4|0|1); g : X = ( − 2 1 0 ) + s · ( 4 0 1 ) Abstand zwischen zwei parallelen Geraden bestimmen Wenn man die Koordinaten eines Punktes P auf h bestimmt, so lässt sich der Abstand analog zum Abstand eines Punktes P von einer Geraden g bestimmen. 832 Technologie 833 834 90° g Abstand der Geraden h Ó Technologie Anleitung Abstand PunktGerade und Gerade-Gerade bestimmen fi7e64 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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