209 Ebenen im Raum > Abstandsberechnungen Ein Gegenstand fliegt entlang der Geraden g: X = ( 3 5 7 ) + t · ( − 2 − 1 − 1) auf die xy-Ebene zu, wobei der Parameter t ∈ ℝ die Flugdauer in Sekunden angibt. Die Einheit der Koordinaten ist ein Meter. a) Berechne die Höhe des Gegenstandes über der xy-Ebene nach drei Sekunden. b) In welcher Höhe über der xy-Ebene startet der Flug? c) Nach wieviel Sekunden trifft der Gegenstand am Boden (xy-Ebene) auf? Der Punkt A liegt in der Grundfläche eines Würfels. Die Punkte B, C und D liegen auf dessen Deckfläche. Bestimme die Kantenlänge des Würfels. A = (2 | −3 | 0), B = (1 | 3 | 5), C = (− 3 | 3 | 5), D = (− 9 | 3 | 5) Abstand zwischen einer Ebene und einer parallelen Geraden bestimmen Um diesen Abstand zu ermitteln, bestimmt man zuerst einen beliebigen Punkt P der Geraden g und berechnet danach (wie im vorhergehenden Abschnitt erklärt) den Abstand dieses Punktes von der Ebene. Bestimme den Abstand der Geraden g von der Ebene e. a) e: − x + 4 y − 2 z = 2, g: X = ( − 1 1 2 ) + s · ( 0 1 2 ) b) e: x + y − 3 z = 9, g: X = ( 1 2 − 2 ) + s · ( 5 4 3 ) Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen bestimmen Um diesen Abstand zu ermitteln, bestimmt man zuerst einen beliebigen Punkt P einer Ebene und berechnet danach den Abstand dieses Punktes von der anderen Ebene. Bestimme den Abstand der Ebene p von der Ebene f. a) p: x − y + 2 z = 1, f: x − y + 2 z = 7 d) p: x + y = 1, f: x + y = 4 b) p: 2 x − 3 y + z = 2, f: 2 x − 3 y + z = 7 e) p: x = 4, f: x = − 3 c) p: − x + 2 y − 3 z = − 3, f: − x + 2 y − 3 z = − 17 f) p: x − z = 1, f: − 2 x + 2 z = − 2 Bestimme den Abstand der Ebene a von der Ebene b. a) a: X = ( 1 − 1 3) + s · ( 0 − 1 2) + t · ( 1 0 3 ) b: X = ( 2 1 3 ) + u · ( 2 3 0 ) + v · ( 1 0 3 ) b) a: [A = (− 1 | 2 | 3), B = (− 3 | 2 | 1), C = (− 3 | 2 | −1)], b: [A = (0 | 5 | −3), B = (− 3 | 5 | 2), C = (− 3 | 5 | 0)] c) a: X = ( − 3 2 1 ) + s · ( 0 3 5 ) + t · ( − 3 0 1 ) b: X = ( − 6 5 7 ) + u · ( 0 6 10 ) + v · ( − 3 0 1 ) Bestimme den Abstand der Ebenen s und t ohne Berechnung. a) s: x = 0, t : x = 5 c) s: [A = (− 1 | 3 | 0),B=(4| 1 | 0),C=(0| 0 | 0)] b) s: 2 x − 3 y + z = 1 t: 4 x − 6 y + 2 z = 2 s: [A = (0 | 0 | −3), B = (− 3 | 5 | −3), C = (− 3 | 5 | −3)] 826 827 P e Normalg abstand 828 Normalabstand P der beiden Ebenen 829 830 831 A B D C Ó Arbeitsblatt Abstand Ebene Gerade 9tx24h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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