209 Ebenen im Raum > Abstandsberechnungen Ein Gegenstand fliegt entlang der Geraden g : X = ( 3 5 7 ) + t · ( − 2 − 1 − 1) auf die xy-Ebene zu, wobei der Parameter t ∈ ℝ die Flugdauer in Sekunden angibt. Die Einheit der Koordinaten ist ein Meter. a) Berechne die Höhe des Gegenstandes über der xy-Ebene nach drei Sekunden. b) In welcher Höhe über der xy-Ebene startet der Flug? c) Nach wieviel Sekunden trifft der Gegenstand am Boden (xy-Ebene) auf? Der Punkt A liegt in der Grundfläche eines Würfels. Die Punkte B, C und D liegen auf dessen Deckfläche. Bestimme die Kantenlänge des Würfels. A = (2|−3|0), B = (1|3|5), C = (− 3|3|5), D = (− 9|3|5) Abstand zwischen einer Ebene und einer parallelen Geraden bestimmen Um diesen Abstand zu ermitteln, bestimmt man zuerst einen beliebigen Punkt P der Geraden g und berechnet danach (wie im vorhergehenden Abschnitt erklärt) den Abstand dieses Punktes von der Ebene. Bestimme den Abstand der Geraden g von der Ebene e. a) e : − x + 4y − 2z = 2,g : X = ( − 1 1 2 ) + s · ( 0 1 2 ) b) e : x + y − 3z = 9, g : X = ( 1 2 − 2 ) + s · ( 5 4 3 ) Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen bestimmen Um diesen Abstand zu ermitteln, bestimmt man zuerst einen beliebigen Punkt P einer Ebene und berechnet danach den Abstand dieses Punktes von der anderen Ebene. Bestimme den Abstand der Ebene p von der Ebene f. a) p : x − y + 2z = 1, f : x − y + 2z = 7 d) p : x + y = 1, f : x + y = 4 b) p : 2x − 3y + z = 2, f : 2x − 3y + z = 7 e) p : x = 4, f : x = − 3 c) p : − x + 2y − 3z = − 3, f : − x + 2y − 3z = − 17 f) p : x − z = 1, f : − 2x + 2z = − 2 Bestimme den Abstand der Ebene a von der Ebene b. a) a : X = ( 1 − 1 3 ) + s · ( 0 − 1 2 ) + t · ( 1 0 3 ) b : X = ( 2 1 3 ) + u · ( 2 3 0 ) + v · ( 1 0 3 ) b) a:[A = (− 1|2|3),B = (− 3|2|1),C = (− 3|2|−1)], b : [A = (0|5|−3), B = (− 3|5|2), C = (− 3|5|0)] c) a : X = ( − 3 2 1 ) + s · ( 0 3 5 ) + t · ( − 3 0 1 ) b : X = ( − 6 5 7 ) + u · ( 0 6 10 ) + v · ( − 3 0 1 ) Bestimme den Abstand der Ebenen s und t ohne Berechnung. a) s : x = 0, t : x = 5 c) s:[A = (− 1|3|0), B = (4|1|0), C = (0|0|0)] b) s : 2x − 3y + z = 1 t : 4x − 6y + 2z = 2 s:[A = (0|0|−3), B = (− 3|5|−3), C = (− 3|5|−3)] 826 827 P e Normalg abstand 828 Normalabstand P der beiden Ebenen 829 830 831 A B D C Ó Arbeitsblatt Abstand Ebene Gerade 9tx24h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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