208 12.5 Abstandsberechnungen Lernziele: º Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmen können º Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen können º Abstand zwischen einer Ebene und einer parallelen Geraden bestimmen können º Abstand zwischen zwei Geraden bestimmen können º Abstand zwischen zwei Ebenen bestimmen können Der Abstand zweier Objekte im ℝ 3 ist immer als der kleinste Abstand (= Normalabstand) zwischen diesen beiden Objekten definiert. Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmen Wenn man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnen will, geht man folgendermaßen vor: Aufgabe: P = (− 1|3|−2) 90° P Normalabstand d e Bestimme den Abstand d zwischen P und e. e : 2x − y + 3z = 3 Vorgehensweise: Mit Hilfe des Normalvektors ⇀nvon e stellt man eine normale Gerade g durch den Punkt P auf. Dann schneidet man g und e um den Schnittpunkt S zu erhalten. | ⇀SP | ist der Abstand d. e S †SP† = d P n n g Schritt 1: Man bestimmt den Normalvektor von e. ⇀n = ( 2 − 1 3 ) Schritt 2: Man bestimmt die Gerade g, die normal auf e steht und durch den Punkt P geht. g : X = ( − 1 3 − 2 ) + s · ( 2 − 1 3 ) Schritt 3: Man berechnet den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Ebene e. 2 (− 1 + 2s) − (3 − s) + 3 (− 2 + 3s) = 3 ⇒ s = 1 ⇒ S = (1|2|1) Schritt 4: Man berechnet | ⇀SP |. d = | ⇀SP | = 9 _ 14… Abstand P von e Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene e. a) a : − 2x + 3y − z=5,P=(− 3|4|−1) d) a : − x=1,P=(− 2|2|3) b) a : − 3x + y − z = 0,P = (0|1|1) e) a : x + y = 5, P = (0|1|4) c) a : − x − 2y − 2z = 1,P = (− 7|−3|−3) f) a : 3x + y − 3z = 15, P = (5|15|5) A, B und C sind die Eckpunkte der Grundfläche eines Tetraeders mit der Spitze S. Bestimme die Höhe und das Volumen des Tetraeders. a) A = (− 1|2|3), B = (− 3|−5|1), C = (− 3|−2|−1), S = (3|6|9) b) A = (1|−4|2), B = (4|−1|1), C = (− 5|2|−3), S = (− 3|2|1) c) A = (1|2|0), B = (4|−5|0), C = (2|−2|0), S = (0|−3|6) Kompetenzen 824 Ó Technologie Anleitung Abstand PunktEbene bestimmen 2nf6nb A S C B 825 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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