208 12.5 Abstandsberechnungen Lernziele: º Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmen können º Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen können º Abstand zwischen einer Ebene und einer parallelen Geraden bestimmen können º Abstand zwischen zwei Geraden bestimmen können º Abstand zwischen zwei Ebenen bestimmen können Der Abstand zweier Objekte im ℝ 3 ist immer als der kleinste Abstand (= Normalabstand) zwischen diesen beiden Objekten definiert. Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmen Wenn man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnen will, geht man folgendermaßen vor: Aufgabe: P = (− 1 | 3 | −2) 90° P Normalabstand d e Bestimme den Abstand d zwischen P und e. e: 2 x − y + 3 z = 3 Vorgehensweise: Mit Hilfe des Normalvektors ⇀nvon e stellt man eine normale Gerade g durch den Punkt P auf. Dann schneidet man g und e um den Schnittpunkt S zu erhalten. | ⇀SP | ist der Abstand d. e S †SP† = d P n n g Schritt 1: Man bestimmt den Normalvektor von e. ⇀n = ( 2 − 1 3) Schritt 2: Man bestimmt die Gerade g, die normal auf e steht und durch den Punkt P verläuft. g: X = ( − 1 3 − 2 ) + s · ( 2 − 1 3) Schritt 3: Man berechnet den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Ebene e. 2 (− 1 + 2 s) − (3 − s) + 3 (− 2 + 3 s) = 3 ⇒ s = 1 ⇒ S = (1 | 2 | 1) Schritt 4: Man berechnet | ⇀SP |. d = | ⇀SP | = 9 _ 14… Abstand P von e Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene e. a) a: − 2 x + 3 y − z = 5, P = (− 3 | 4 | −1) d) a: − x = 1, P = (− 2 | 2 | 3) b) a: − 3 x + y − z = 0, P = (0 | 1 | 1) e) a: x + y = 5, P = (0 | 1 | 4) c) a: − x − 2 y − 2 z = 1, P = (− 7 | −3 | −3) f) a: 3 x + y − 3 z = 15, P = (5 | 15 | 5) A, B und C sind die Eckpunkte der Grundfläche eines Tetraeders mit der Spitze S. Bestimme die Höhe und das Volumen des Tetraeders. a) A = (− 1| 2 | 3), B = (− 3 | −5 | 1), C = (− 3 | −2 | −1), S = (3 | 6 | 9) b) A = (1 | −4 | 2), B = (4 | −1 | 1), C = (− 5 | 2 | −3), S = (− 3 | 2 | 1) c) A = (1 | 2 | 0), B = (4 | −5 | 0), C = (2 | −2 | 0), S = (0 | −3 | 6) Kompetenzen 824 Ó Technologie Anleitung Abstand PunktEbene bestimmen 2nf6nb A S C B 825 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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