207 Ebenen im Raum > Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme Bestimme, ob sich die drei Ebenen a, b und c in einem gemeinsamen Punkt, in einer gemeinsamen Geraden oder in einer gemeinsamen Ebene schneiden und bestimme gegebenenfalls Schnittpunkt, Schnittgerade oder Schnittebene. a) a : x − y + z = 3 b : 2x + y − z = 0 c : 3x = 3 b) a : 2x + y − 3z = 1 b : − 4x − 2y + 6z = − 2 c : 4x + 2y − 6z = 2 c) a : x + y + z = 2 b : x − 3y – z = − 3 c : 2x − 2y = − 1 d) a : x − 2y + 3z = 2 b : − x + 3y − z = 2 c : 2x − 5y + 4z = 0 Die Ebenen a, b und c haben keine gemeinsamen Punkte. Bestimme die Lagebeziehung ohne Berechnung. a) a : x − y + z = 3 b : − x + y − z = 3 c : x − y + z = 3 b) a : x + 3y − 2z = 1 b : x + 3y − 2z = − 1 c : − 2x − 6y + 4z = 3 c) a : x + y + z = 2 b : x + y + z = − 3 c : x − 3y = − 1 d) a : x − 2y + 3z = 0 b : − x + 3y − z = 0 c : 2x − 5y + 4z = 2 Winkel zwischen Ebenen Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den beiden Normalvektoren der Ebenen. Bestimme den Winkel, den die beiden Ebenen a und b einschließen. a : x − 3y=4 b : − x + 2y − z = 0 Man berechnet den Winkel zwischen den beiden Normalvektoren na = ( 1 − 3 0 ) und nb = ( − 1 2 − 1 ). cos(α) = ( 1 − 3 0 ) · ( − 1 2 − 1 ) _ |( 1 − 3 0 )| · |( − 1 2 − 1 )| = − 7 _ 9 10 · 9 _ 6 ≈ − 0, 90 ⇒ α ≈ 154, 65° Da es üblich ist, den kleineren Winkel zwischen den Ebenen als Schnittwinkel anzugeben, ergibt sich für den Schnittwinkel der Wert 180° − 154, 65° ≈ 25, 35°. Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Ebenen a und b. a) a : x − y + 5z = 2 b : − 3x + 2y − z = 5 c) a : x − z = 3 b : − x + y = 12 b) a : − x + y − 4z = 1 b : − 2x + 2y − 8z = 2 d) a : z = 0 b : x = 5 Winkel zwischen zwei Ebenen bestimmen G Winkel(Ebene, Ebene) Winkel(2x – y + z = 1, x + y – 5z = 3) α = 108.32° C angle(Vektor, Vektor) angle ([ 2 –1 1 ], [ 1 1 –5 ]) 108.32° 820 821 Merke na b a nb α α Muster 822 823 Technologie Ó Technologie Anleitung Winkel zwischen zwei Ebenen bestimmen xt9vf8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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