207 Ebenen im Raum > Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme Bestimme, ob sich die drei Ebenen a, b und c in einem gemeinsamen Punkt, in einer gemeinsamen Geraden oder in einer gemeinsamen Ebene schneiden und bestimme gegebenenfalls Schnittpunkt, Schnittgerade oder Schnittebene. a) a: x − y + z = 3 b: 2 x + y − z = 0 c: 3 x = 3 b) a: 2 x + y − 3 z = 1 b: − 4 x − 2 y + 6 z = − 2 c: 4 x + 2 y − 6 z = 2 c) a: x + y + z = 2 b: x − 3 y – z = − 3 c: 2 x − 2 y = − 1 d) a: x − 2 y + 3 z = 2 b: − x + 3 y − z = 2 c: 2 x − 5 y + 4 z = 0 Die Ebenen a, b und c haben keine gemeinsamen Punkte. Bestimme die Lagebeziehung ohne Berechnung. a) a: x − y + z = 3 b: − x + y − z = 3 c: x − y + z = 3 b) a: x + 3 y − 2 z = 1 b: x + 3 y − 2 z = − 1 c: − 2 x − 6 y + 4 z = 3 c) a: x + y + z = 2 b: x + y + z = − 3 c: x − 3 y = − 1 d) a: x − 2 y + 3 z = 0 b : − x + 3 y − z = 0 c: 2 x − 5 y + 4 z = 2 Winkel zwischen Ebenen Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den beiden Normalvektoren der Ebenen. Bestimme den Winkel, den die beiden Ebenen a und b einschließen. a: x − 3y=4 b : − x + 2 y − z = 0 Man berechnet den Winkel zwischen den beiden Normalvektoren n a = ( 1 − 3 0)und nb = ( − 1 2 − 1 ). cos(α) = ( 1 − 3 0) · ( − 1 2 − 1 ) _______ |( 1 − 3 0)| · |( − 1 2 − 1 )| = − 7 _ 9 10 · 9 _ 6 ≈ − 0,90 ⇒ α ≈ 154,65° Da es üblich ist, den kleineren Winkel zwischen den Ebenen als Schnittwinkel anzugeben, ergibt sich für den Schnittwinkel der Wert 180° − 154,65° ≈ 25,35°. Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Ebenen a und b. a) a: x − y + 5 z = 2 b: − 3 x + 2 y − z = 5 c) a: x − z = 3 b: − x + y = 12 b) a: − x + y − 4 z = 1 b: − 2 x + 2 y − 8 z = 2 d) a: z = 0 b: x = 5 Winkel zwischen zwei Ebenen bestimmen � Winkel(Ebene, Ebene) Winkel(2 x – y + z = 1, x + y – 5 z = 3) α = 108.32° � angle(Vektor, Vektor) angle ([ 2 –1 1 ], [ 1 1 –5 ]) 108.32° 820 821 Merke na b a nb α α Muster 822 823 Technologie Ó Technologie Anleitung Winkel zwischen zwei Ebenen bestimmen xt9vf8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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