206 Ebenen im Raum > Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme 12 Untersuche die Lagebeziehung der drei Ebenen. e 1 : x − y + z = 1 e 2 : 2x − 3y + 2z = 1 e 3 : − x + y − z = 1 Man erkennt, dass die Ebenen e 1 und e3 zueinander parallel sind. e2 ist weder parallel zu den Ebenen e1 und e3 noch identisch mit ihnen, also schneidet e 2 die anderen Ebenen. Die drei Ebenen liegen also wie in Abbildung 4 dargestellt. Gegeben sind 5 Ebenen: e 1 : x − y+z = 1;e2 : 2x − 2y + 2z = 2; e3 : − x + y − z = 1; e4 : x − y − z = 1; e 5 : − 2x + 2y − 2z = − 2 Trage die Nummer der Darstellung von S. 205 ein, die der Lagebeziehung der angegebenen Ebenen entspricht. A B C D E e 1, e 2, e 3 e 1, e 2, e 4 e 1, e 2, e 5 e 2, e 3, e 4 e 2, e 3, e 5 Bestimme a, b, c, d, e und f so, dass die drei Ebenen 1) parallel 2) identisch sind. e 1 : ax − 2y + z = 2 e 2 : 2x − by + 2z = c e 3 : dx − 6y + ez = f In den Fällen 6) bis 8), in denen es keine parallelen oder identischen Ebenen gibt, muss man die Lagebeziehung (und etwaige Schnittgeraden oder Schnittpunkte) rechnerisch durch Lösung des entsprechenden Gleichungssystems ermitteln. Bestimme die Lagebeziehung und gegebenenfalls den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen. a) e 1 : 3x + y − z = 1, e2 : 2x − y+2z = 3,e3 : 8x + y = 2 b) e 1 : 3x + y − z = 1, e2 : 2x − y+2z = 5,e3 : 8x + y = 7 a) Da es keine identischen oder parallelen Ebenen gibt, muss das Gleichungssystem gelöst werden: I : 3x + y − z = 1 II : 2x − y + 2z = 3 III : 8x + y = 2 ⇒ 2 · I + II : 8x + y = 5 III : 8x + y = 2 ⇒ 0 = 3 ⇒ Widerspruch keine Lösung ⇒ keine gemeinsamen Punkte ⇒ Lage wie in Abb. 8 b) Es wird ein Gleichungssystem aufgestellt und gelöst: I : 3x + y − z = 1 II : 2x − y + 2z = 5 III : 8x + y = 7 ⇒ 2 · I + II : 8x + y = 7 III : 8x + y = 7 ⇒ 0 = 0 ⇒ Identität unendliche viele Lösungen ⇒ es gibt eine Schnittgerade g : X = ( 0 7 6 ) + t · ( 1 − 8 − 5 ) ⇒ Lage wie in Abb. 7 Bestimme den Schnittpunkt der drei Ebenen a, b und c. a) a : x − y + z = 1 b : 2x − y − z = 0 c : x − y = 0 b) a : 2x + 3z = 10 b : − 3y − z = − 3 c : 4x − 3z = − 3 c) a : x − 2y + z = − 2 b : − 3x + 5y − 3z = 2 c : 2x − y + z = 3 d) a : x = 2 b : y = − 3 c : z = 0 Muster 815 816 817 Muster 818 819 Ó Arbeitsblatt Schnittpunkte von Ebenen z3pq7c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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