204 Ebenen im Raum > Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme 12 Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e 1 und e 2 und gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden g. a) e 1: x − 3y + 2z = 1, e2: x − y + 2 z = 5 c) e 1: 2 x − y+z=0,e2: 2 x − 4 y + 4 z = 0 b) e 1: x − y + z = − 1, e 2: x + 2 y − 3 z = 0 d) e 1: − 2x+y=1,e2: − 4 x + 3 y = 1 Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e 1 und e 2 und gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden g. a) e 1: X = ( 2 1 3 ) + s · ( 0 0 3 ) + t · ( 1 3 2 ) e 2: X = ( 2 1 3 ) + u · ( 1 0 1 ) + v · ( 0 1 0 ) b) e 1: X = ( 4 − 1 0) + s · ( 1 1 1 ) + t · ( 2 1 0 ) e 2: X = ( 7 1 1 ) + u · ( 1 − 1 2) + v · ( 2 3 − 4 ) c) e 1: X = ( 1 1 1 ) + s · ( 1 2 3 ) + t · ( − 1 0 2 ) e 2: X = ( 2 1 3 ) + u · ( 0 2 5 ) + v · ( − 2 0 4 ) d) e 1: X = ( − 2 3 5 ) + s · ( − 1 0 2 ) + t · ( 0 − 2 3) e 2: X = ( − 3 1 10 ) + u · ( − 1 − 2 5) + v · ( − 1 − 4 8) Tipp: Bringe die Ebenen zuerst auf eine parameterfreie Form. Überprüfe ohne Berechnung der Schnittgeraden, ob die gegebene Gerade g die Schnittgerade der Ebenen a und b ist. a) a: 2 x − y+2z=4 g:X=( 1 0 1 ) + s · ( 3 2 − 2 ) b: x − y = 2 b) a:x=2 g:X=( 2 0 3 ) + s · ( 0 − 1 0) b:z=3 Gegeben sind die Ebene e: − x + 2 y + 5 z = − 3 und der Punkt P = (1 | 2 | 3). Gib die Gleichung einer Ebene f mit folgenden Eigenschaften an. a) f ‖ e; P ∈ f b) schneidend zu e, P ∈ f c) f ⊥ e; P ∈ f d) f ⊥ e, P ∈ f; Q = (0 | 0 | 1) ∈ f Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen Da die parameterfreie Darstellung von Ebenen die Variablen x, y und z besitzt, führt die Untersuchung von Lagebeziehungen zwischen Ebenen auf Gleichungssysteme mit drei Variablen. Ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen wird folgendermaßen gelöst. Schritt 1: Ordne die drei Gleichungen so an, dass gleiche Variablen untereinander stehen. I: 2 x − y + 3 z = 9 II: x + 2 y − 2 z = − 1 III: − 5 x + 3 y − 3 z = − 8 Schritt 2: Vereinfache das System auf 2 Gleichungen mit 2 Variablen – eliminiere eine Variable. Eliminationsverfahren anwenden: I + III: − 3 x + 2 y = 1 2·I + 3·II:7x + 4y =15 Schritt 3: Löse das vereinfachte Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit 2 Variablen und bestimme den Wert aller Variablen. − 3 x + 2 y = 1 7x + 4y = 15⇒ x = 1; y = 2 Setzt man nun x = 1und y = 2in einer der ursprünglichen Gleichungen ein, so erhält man den Wert der Variablen z: I: 2 · 1 − 2 + 3 z = 9 ⇒ z = 3 Die Lösung besteht aus einem Zahlentripel: L = {(1 | 2 | 3)} 807 808 809 810 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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