204 Ebenen im Raum > Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme 12 Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e1 und e2 und gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden g. a) e 1 : x − 3y + 2z = 1, e2 : x − y + 2z = 5 c) e 1 : 2x − y+z = 0,e2 : 2x − 4y + 4z = 0 b) e 1 : x − y + z = − 1, e 2 : x + 2y − 3z = 0 d) e 1 : − 2x+y = 1,e2 : − 4x + 3y = 1 Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e1 und e2 und gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden g. a) e 1 : X = ( 2 1 3 ) + s · ( 0 0 3 ) + t · ( 1 3 2 ) e 2 : X = ( 2 1 3 ) + u · ( 1 0 1 ) + v · ( 0 1 0 ) b) e 1 : X = ( 4 − 1 0 ) + s · ( 1 1 1 ) + t · ( 2 1 0 ) e 2 : X = ( 7 1 1 ) + u · ( 1 − 1 2 ) + v · ( 2 3 − 4 ) c) e 1 : X = ( 1 1 1 ) + s · ( 1 2 3 ) + t · ( − 1 0 2 ) e 2 : X = ( 2 1 3 ) + u · ( 0 2 5 ) + v · ( − 2 0 4 ) d) e 1 : X = ( − 2 3 5 ) + s · ( − 1 0 2 ) + t · ( 0 − 2 3 ) e 2 : X = ( − 3 1 10 ) + u · ( − 1 − 2 5 ) + v · ( − 1 − 4 8 ) Tipp: Bringe die Ebenen zuerst auf eine parameterfreie Form. Überprüfe ohne Berechnung der Schnittgeraden, ob die gegebene Gerade g die Schnittgerade der Ebenen a und b ist. a) a : 2x − y+2z = 4 g:X = ( 1 0 1 ) + s · ( 3 2 − 2 ) b : x − y = 2 b) a:x = 2 g:X = ( 2 0 3 ) + s · ( 0 − 1 0 ) b:z = 3 Gegeben sind die Ebene e : − x + 2y + 5z = − 3und der Punkt P = (1|2|3). Gib die Gleichung einer Ebene f mit folgenden Eigenschaften an. a) f‖e; P ∈ f b) schneidend zu e, P ∈ f c) f ⊥ e; P ∈ f d) f ⊥ e, P ∈ f; Q = (0|0|1) ∈ f Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen Da die parameterfreie Darstellung von Ebenen die Variablen x, y und z besitzt, führt die Untersuchung von Lagebeziehungen zwischen Ebenen auf Gleichungssysteme mit drei Variablen. Ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen wird folgendermaßen gelöst. Schritt 1: Ordne die drei Gleichungen so an, dass gleiche Variablen untereinander stehen. I: 2x − y + 3z = 9 II: x + 2y − 2z = − 1 III: − 5x + 3y − 3z = − 8 Schritt 2: Vereinfache das System auf 2 Gleichungen mit 2 Variablen – eliminiere eine Variable. Eliminationsverfahren anwenden: I + III : − 3x + 2y = 1 2 · I + 3 · II : 7x + 4y = 15 Schritt 3: Löse das vereinfachte Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit 2 Variablen und bestimme den Wert aller Variablen. − 3x + 2y = 1 7x + 4y = 15 ⇒ x = 1; y = 2 Setzt man nun x = 1und y = 2in einer der ursprünglichen Gleichungen ein, so erhält man den Wert der Variablen z: I: 2 · 1 − 2 + 3z = 9 ⇒ z = 3 Die Lösung besteht aus einem Zahlentripel: L = {(1|2|3)} 807 808 809 810 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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