203 12.4 Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme Lernziele: º Lagebeziehungen von Ebenen zueinander ermitteln können º Schnittgerade von Ebenen ermitteln können º Geometrische Aufgaben mit Hilfe der Vektorrechnung lösen können º Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen lösen können (AG-L 2.7) Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen: identisch, parallel und schneidend. e2 e1 e2 e1 e1 n e2 n e2 e1 n e2 n e1 e 1: 2 x − 3 y + z = 1 e 2: 4 x − 6 y + 2 z = 2 e 1: 2 x − 3 y + z = 2 e 2: 4 x − 6 y + 2 z = 2 e 1: 2 x − 3 y + z = 2 e 2: 4 x − 6 y + z = 2 Man kann erkennen, dass die beiden Ebenengleichungen äquivalent sind. Die Gleichung von e 2 ist genau das Doppelte der Gleichung von e 1. Die Gleichungen sind nicht äquivalent, aber die beiden Normalvektoren sind parallel: ( 2 − 3 1) ∥ ( 4 − 6 2) Die Gleichungen sind nicht äquivalent, die Normalvektoren sind nicht parallel: ( 2 − 3 1) ∦ ( 4 − 6 1) e 1 und e 2 sind also identisch. e 1 und e 2 sind also parallel. e 1 und e 2 sind also schneidend. Bestimme die Lagebeziehung folgender Ebenen e und d. a) e: 2 x − 3 y + 4 z = 2 d: 2 x − 3 y + 4 z = 4 c) e: x − y + 2 z = 2 d: 2 x − 4 y + 4 z = 4 b) e: x − y + 3 z = 1 d: − x + y − 3 z = − 1 d) e: 2 x + y = 1 d: 4 x + 2 y = 1 Gegeben ist die Ebene e: x − 2 y + 2 z = 4. Bestimme, wenn möglich, den Parameter k der Ebene f so, dass diese die verlangte Eigenschaft aufweist. a) f: 3 x + ky + 6 z = 8 f identisch mit e c) f: k − 2 y + 2 z = 4 f schneidend mit e b) f: − x + 2 y − 2 z = k f parallel zu e d) f: x − 2 y − kz = 8 f identisch mit e Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e 1: x + 2 y − z = 2und e2: 2 x − y + z = 2und gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden g. Da die Normalvektoren ( 1 2 − 1 ) und ( 2 − 1 1) der beiden Ebenen nicht parallel sind, handelt es sich um einander schneidende Ebenen. Um die Gleichung der Schnittgeraden zu ermitteln, löst man das Gleichungssystem I: x + 2 y − z = 2 II: 2x − y + z = 2. Dazu belegt man die x-Koordinate mit dem Parameter t und berechnet danach mit dem Eliminationsverfahren y und z: I: 2 y − z = 2 − t II: − y + z = 2 − 2 t } ⇒ x = t y = 4 − 3 t z = 6 − 5 t ⇒( x y z ) = ( 0 4 6 ) + t · ( 1 − 3 − 5) Parameterform der Schnittgeraden g Kompetenzen 804 805 Muster 806 Ó Technologie Anleitung Schnittpunkt zweier Ebenen bestimmen dj8u6e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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