Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

203 12.4 Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme Lernziele: º Lagebeziehungen von Ebenen zueinander ermitteln können º Schnittgerade von Ebenen ermitteln können º Geometrische Aufgaben mit Hilfe der Vektorrechnung lösen können º Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen lösen können (AG-L 2.7) Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen: identisch, parallel und schneidend. e2 e1 e2 e1 e1 n e2 n e2 e1 n e2 n e1 ​e ​1​: 2 x − 3 y + z = 1​ ​e ​2​: 4 x − 6 y + 2 z = 2​ ​e ​1​: 2 x − 3 y + z = 2​ ​e ​2​: 4 x − 6 y + 2 z = 2​ ​e ​1​: 2 x − 3 y + z = 2​ ​e ​2​: 4 x − 6 y + z = 2​ Man kann erkennen, dass die beiden Ebenengleichungen äquivalent sind. Die Gleichung von ​e ​2 ​ist genau das Doppelte der Gleichung von ​e​ 1.​ Die Gleichungen sind nicht äquivalent, aber die beiden Normalvektoren sind parallel: ​(​ 2 ​ − 3 ​ 1) ​∥ ​(​ 4 ​ − 6 ​ 2)​ Die Gleichungen sind nicht äquivalent, die Normalvektoren sind nicht parallel: ​(​ 2 ​ − 3 ​ 1) ​∦ ​(​ 4 ​ − 6 ​ 1)​ ​e ​1​ und e​ ​2​ sind also identisch. ​e ​1​ und e​ ​2​ sind also parallel. ​e ​1​ und e​ ​2​ sind also schneidend. Bestimme die Lagebeziehung folgender Ebenen e und d. a) ​e: 2 x − 3 y + 4 z = 2​ ​d: 2 x − 3 y + 4 z = 4​ c) ​e: x − y + 2 z = 2​ ​d: 2 x − 4 y + 4 z = 4​ b) ​e: x − y + 3 z = 1​ ​d: − x + y − 3 z = − 1​ d) ​e: 2 x + y = 1​ ​d: 4 x + 2 y = 1​ Gegeben ist die Ebene ​e: x − 2 y + 2 z = 4​. Bestimme, wenn möglich, den Parameter k der Ebene f so, dass diese die verlangte Eigenschaft aufweist. a) ​f: 3 x + ky + 6 z = 8​ f identisch mit e c) ​f: k − 2 y + 2 z = 4​ f schneidend mit e b) ​f: − x + 2 y − 2 z = k​ f parallel zu e d) ​f: x − 2 y − kz = 8​ f identisch mit e Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen ​​e ​1​: x + 2 y − z = 2​und ​e​2​: 2 x − y + z = 2​und gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden g. Da die Normalvektoren ​​(​ 1 2 ​ − 1 ​) ​und ​(​ 2 ​ − 1 ​ 1)​ ​der beiden Ebenen nicht parallel sind, handelt es sich um einander schneidende Ebenen. Um die Gleichung der Schnittgeraden zu ermitteln, löst man das Gleichungssystem ​I: x + 2 y − z = 2​ ​II: 2x − y + z = 2​. Dazu belegt man die x-Koordinate mit dem Parameter t und berechnet danach mit dem Eliminationsverfahren y und z: ​ ​I: 2 y − z = 2 − t​ ​ ​II: − y + z = 2 − 2 t​ ​}​ ​⇒​​ x = t y = 4 ​ − 3 t ​​ z = 6 − 5 t​ ​ ​⇒​​(​ x y ​ z ​) ​= ​( ​ 0 4 ​ 6 ​) ​+ t · ​(​ 1 ​ − 3 ​ − 5) ​Parameterform der Schnittgeraden g Kompetenzen 804 805 Muster 806 Ó Technologie Anleitung Schnittpunkt zweier Ebenen bestimmen dj8u6e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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