203 12.4 Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme Lernziele: º Lagebeziehungen von Ebenen zueinander ermitteln können º Schnittgerade von Ebenen ermitteln können º Geometrische Aufgaben mit Hilfe der Vektorrechnung lösen können º Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen lösen können (AG-L 2.7) Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen: identisch, parallel und schneidend. e2 e1 e2 e1 e1 n e2 n e2 e1 n e2 n e1 e 1 : 2x − 3y + z = 1 e 2 : 4x − 6y + 2z = 2 e 1 : 2x − 3y + z = 2 e 2 : 4x − 6y + 2z = 2 e 1 : 2x − 3y + z = 2 e 2 : 4x − 6y + z = 2 Man kann erkennen, dass die beiden Ebenengleichungen äquivalent sind. Die Gleichung von e 2 ist genau das Doppelte der Gleichung von e1. Die Gleichungen sind nicht äquivalent, aber die beiden Normalvektoren sind parallel: ( 2 − 3 1 ) ∥ ( 4 − 6 2 ) Die Gleichungen sind nicht äquivalent, die Normalvektoren sind nicht parallel: ( 2 − 3 1 ) ∦ ( 4 − 6 1 ) e 1 und e 2 sind also identisch. e 1 und e 2 sind also parallel. e 1 und e 2 sind also schneidend. Bestimme die Lagebeziehung folgender Ebenen e und d. a) e : 2x − 3y + 4z = 2 d : 2x − 3y + 4z = 4 c) e : x − y + 2z = 2 d : 2x − 4y + 4z = 4 b) e : x − y + 3z = 1 d : − x + y − 3z = − 1 d) e : 2x + y = 1 d : 4x + 2y = 1 Gegeben ist die Ebene e : x − 2y + 2z = 4. Bestimme, wenn möglich, den Parameter k der Ebene f so, dass diese die verlangte Eigenschaft aufweist. a) f : 3x + ky + 6z = 8 f identisch mit e c) f : k − 2y + 2z = 4 f schneidend mit e b) f : − x + 2y − 2z = k f parallel zu e d) f : x − 2y − kz = 8 f identisch mit e Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e1 : x + 2y − z = 2und e2 : 2x − y + z = 2und gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden g. Da die Normalvektoren ( 1 2 − 1 ) und ( 2 − 1 1 ) der beiden Ebenen nicht parallel sind, handelt es sich um einander schneidende Ebenen. Um die Gleichung der Schnittgeraden zu ermitteln, löst man das Gleichungssystem I: x + 2y − z = 2 II: 2x − y + z = 2. Dazu belegt man die x-Koordinate mit dem Parameter t und berechnet danach mit dem Eliminationsverfahren y und z: I: 2y − z = 2 − t II: − y + z = 2 − 2t }⇒ x = t y = 4 − 3t z = 6 − 5t ⇒( x y z ) = ( 0 4 6 ) + t · ( 1 − 3 − 5 ) Parameterform der Schnittgeraden g Kompetenzen 804 805 Muster 806 Ó Technologie Anleitung Schnittpunkt zweier Ebenen bestimmen dj8u6e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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