201 12.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Lernziele: º Die Lagebeziehungen einer Geraden und einer Ebene ermitteln können º Schnittpunkte zwischen Gerade und Ebene ermitteln können º Geometrische Aufgaben mit Hilfe der Vektorrechnung lösen können Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Zwischen Gerade und Ebene gibt es im Raum drei mögliche Lagebeziehungen: Die Gerade g liegt parallel zur Ebene e. g und e haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Die Gerade g liegt in der Ebene e. g und e haben alle Punkte der Geraden g gemeinsam. Die Gerade g schneidet die Ebene e. g und e haben einen gemeinsamen Schnittpunkt S. e g e g e g S g ∩ e = {} g ∩ e = g g ∩ e = {S} Im Folgenden wird gezeigt, wie die Lagebeziehung (und gegebenenfalls der Schnittpunkt) zwischen der Ebene e: X = ( 2 1 2 ) + s · ( 1 2 0 ) + t · ( 0 3 1 ) und den Geraden g1, g 2 und g3 rechnerisch bestimmt wird. g1: X = 2 1 1 1 3 + u · 2 1 2 0 3 g2: X = 2 0 0 3 3 + u · 2 1 2 0 3 g3: X = 2 ‒ 1 0 1 3 + u · 2 1 1 1 3 Die Rechnungen sind einfacher, wenn die Ebene e in parameterfreier Form dargeste®®t wird. e: X = 2 2 1 2 3 + s · 2 1 2 0 3 + t · 2 0 3 1 3 w e: 2 x – y + 3 z = 9 A®s nächsten Schritt versucht man, die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmen. Dazu setzt man die Koordinaten der Geraden g in die parameterfreie Form der Ebene e ein und ®öst die so erha®tene G®eichung. x = 1 + u g1: y = 1 + 2 u z = 1 2 (1 + u) – (1 + 2 u) + 3 · (1) = 9 w 4 = 9 Widerspruch x = 0 + u g2: y = 0 + 2 u z = 3 2(u) – (2 u) + 3 · (3) = 9 w 9 = 9 wahre Aussage x=‒1+u g3: y = u z = 1 + u 2(‒1+u)–(u)+3(1+u)=9 w u = 2 S = 2 ‒ 1 0 1 3 + 2 · 2 1 1 1 3 = 2 1 2 3 3 w S = (1 1 2 1 3) e und g 1 haben keinen Schnittpunkt: g1 ° e = { }. Die Gerade g 1 ist para®®e® zur Ebene e. g2 und e haben unend®ich vie®e Schnittpunkte: g2 ° e = g2 Die Gerade g 2 ®iegt in der Ebene e. g3 und e haben einen gemeinsamen Punkt: g3 ° e = {S} Die Gerade g 3 und die Ebene e sind schneidend. Kompetenzen Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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