199 12.2 Parameterfreie Darstellung einer Ebene Lernziele: º Die parameterfreie Darstellung einer Ebenen kennen, aufstellen und interpretieren können (AG-L 3.9) º Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene bestimmen können º Darstellungsformen von Ebenen umwandeln können º Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene bestimmen können Es ist anschaulich einsichtig, dass eine Ebene e durch einen Punkt P und einen Normalvektor ⇀n der Ebene festgelegt ist. Ist X ein Punktin der Ebene e, so steht der Vektor ⇀ PX normal auf ⇀n . Daraus folgt, dass das Skalarprodukt der Vektoren ⇀ PX und ⇀n gleich null ist. Formuliert man diese Einsichten mit Hilfe der Sprache der Mathematik, so führt das zu einer neuen Gleichungsform für die Ebene e: ⇀n ⊥ ⇀ PX ⇔ ⇀n · ⇀ PX = 0 ⇔ ⇀n · (X − P) = 0 ⇔ ⇀n·X = ⇀n · P (Normalvektorform der Ebene e) Durch Ausmultiplizieren der beiden Skalarprodukte erhält man die parameterfreie Form der Ebene e. Normalvektordarstellung einer Ebene e e: ⇀n·X = ⇀n · P X, P ∈ e, ⇀n ⊥ e Führt man die Skalarmultiplikation aus, so erhält man die parameterfreie Darstellung der Ebene e: a x + b y + c z = d Der Vektor ( a b c ) ist ein Normalvektor der Ebene. Berechne eine parameterfreie Darstellung der Ebene e. e: ⇀X = ( 2 − 3 − 1) + t · ( − 1 3 1 ) + s· ( 1 0 2 ) Zur Berechnung einer parameterfreien Form von e benötigt man einen Punkt und einen Normalvektor der Ebene: P = (2 | −3 | −1) ⇀n = ( − 1 3 1 ) × ( 1 0 2 ) = ( 6 3 − 3 ) ∥ ( 2 1 − 1 ) Nun bildet man mit ⇀n und P die Normalvektorform der Ebene und berechnet die parameterfreie Form durch Ausmultiplizieren der Skalarprodukte. ( 2 1 − 1 ) · ( x y z ) = ( 2 1 − 1 ) · ( 2 − 3 − 1) (Normalvektorform der Ebene e), ⇒ 2 x + y − z = 2 (parameterfreie Form von e) Bestimme eine Normalvektorform und eine parameterfreie Darstellung der durch die drei Punkte festgelegten Ebene e. a) A = (1 | 2 | 0), B = (2 | −1 | 1), C = (0 | −1 | −1) c) A = (0 | 0 | 0), B = (2 | −5 | 1), C = (− 1 | −2 | 3) b) A = (2 | −1 | 5), B = (− 2 | −3 | 1), C = (1 | 2 | 3) d) A = (2 | −1 | −3), B = (− 6 | 5 | −4), C = (1 | 4 | 0) Kompetenzen e P X1 PX1 X2 PX2 90° _ À n Merke Muster 790 791 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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