197 12.1 Parameterdarstellung einer Ebene Lernziele: º Die Parameterdarstellung einer Ebene kennen und aufstellen können (AG-L 3.9) º Die Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene bestimmen können Wie man sich mit Hilfe von zwei Stiften überlegen kann, ist eine Ebene im ℝ 3 durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren (die nicht parallel sein dürfen!) eindeutig festgelegt. Jeder Punkt der Ebene e kann berechnet werden, indem man zum Punkt P ein Vielfaches des Richtungsvektors ⇀a und ein Vielfaches des Richtungsvektors ⇀ baddiert. Zum Beispiel: X 1 = P + 2 · ⇀a+ 3· → b; X 2 = P + (− 1) · ⇀a+ 2· ⇀ b Durch diese Methode werden ausschließlich Punkte auf der Ebene e beschrieben. Das führt zur Parameterdarstellung einer Ebene. Parameterdarstellung einer Ebene im ℝ 3 Alle Punkte X, die in einer gemeinsamen Ebene e liegen, können durch folgende Gleichung beschrieben werden: e: X = P + s · ⇀a+ t· ⇀ b s, t ∈ ℝ; ⇀a, ⇀ b, X, P ∈ ℝ 3 P ist ein Punkt auf e; ⇀a ∦ ⇀ b Nenne möglichst viele verschiedene Möglichkeiten von Angaben, die eine Ebene eindeutig festlegen. (Z.B.: 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen) Begründe, warum durch folgende Angaben die Ebene e nicht eindeutig festgelegt ist. a) e: ⇀X = ( − 4 2 0 ) + t · ( 1 − 1 − 1) + s · ( − 3 3 3 ) b) e[A = (− 1 | 0 | 2), B = (0 | 1 | 3), C = (− 6 | −5 | −3)] Die Ebene e enthält die Punkte A, B, C: e[A = (− 4 | 2 | 0); B = (3 | −1 | −3); C = (0 | −2 | 4)]. a) Bestimme eine Parameterdarstellung von e. b) Bestimme einen beliebigen weiteren Punkt F der Ebene e. a) Für die Parameterdarstellung der Ebene benötigt man einen Punkt und zwei Richtungsvektoren. Als Richtungsvektoren werden z.B. ⎯ ⇀ AB und ⇀ AC verwendet, als Punkt kann man A verwenden: ⎯ ⇀ AB = B − A = ( 7 − 3 − 3); ⇀ AC = ( 4 − 4 4) ∥ ( 1 − 1 1) ⇒ e: X = ( − 4 2 0 ) + s · ( 7 − 3 − 3) + t · ( 1 − 1 1); s, t ∈ ℝ Da die Richtungsvektoren nicht parallel (linear unabhängig) sind, handelt es sich um eine geeignete Parameterdarstellung. b) Wenn die Parameter s und t mit reellen Zahlen belegt werden, erhält man einen Punkt der Ebene. Z.B. erhält man für t = 1und s = − 2: F = ( − 4 2 0 ) + 1 · ( 7 − 3 − 3) + (– 2) · ( 1 − 1 1) = ( 1 1 − 5 ) ⇒ F = (1 | 1 | −5) Kompetenzen z y x e b a a b b b b b –a P X1 = P + 2 a + 3 b _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À X2 = P + (– 1) a + 2 b _ À _ À X2 X1 MerkeÓ Technologie Darstellung Parameterdarstellung einer Ebene kq8w99 778 t 779 Muster 780 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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