187 Geraden im Raum > Lagebeziehungen von Geraden im Raum In der Abbildung sieht man einen Würfel und ein Parallelepiped, deren Grundflächen in der xy-Ebene liegen. Beide haben die gleiche Höhe und ihre Eckpunkte haben ganzzahlige Koordinaten. Bestimme die Lagebeziehung der folgenden Geraden. a) g (A, B), h(L, P) d) g(E, F), h(P, L) b) g(G, C), h(I, L) e) d(E, B), h(H, C) c) g(H, D), h(P, J) f) g(E, B), h(L, M) Stelle dir die Geraden g und h vor und bestimme ihre Lagebeziehung. a) g: X = ( 0 0 0 ) + s · ( 1 0 0 ) h: X = ( 0 0 1 ) + t · ( 0 1 0 ) b) g: X = ( 1 1 0 ) + s · ( 0 1 0 ) h: X = ( 1 1 1 ) + t · ( 0 1 0 ) c) g: X = ( 0 0 1 ) + s · ( 1 1 0 ) h: X = ( 0 0 5 ) + t · ( 1 1 0 ) d) g: X = ( 1 1 0 ) + s · ( 1 1 1 ) h: X = ( 0 0 1 ) + t · ( 0 0 1 ) Zwischen windschiefen und schneidenden Geraden unterscheiden Bestimme die Lagebeziehungen der Geraden g: X = ( 2 − 1 3) + t · ( − 1 1 2 ) zu den Geraden h 1 und h 2. h 1: X = ( 0 1 7 ) + s · ( 2 1 − 1 ) h 2: X = ( 1 1 7 ) + s · ( − 1 2 − 1 ) Da die Richtungsvektoren der Geraden h 1 und h 2 nicht parallel (keine Vielfachen) zum Richtungsvektor von g sind, können h1 und h 2 nur schneidend oder windschief zu g liegen. Um einen etwaigen Schnittpunkt zu berechnen, setzt man jeweils die Geradengleichungen gleich und erhält ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit zwei Variablen. ( 2 − 1 3) + t · ( − 1 1 2 ) = ( 0 1 7 ) + s · ( 2 1 − 1 ) ( 2 − 1 3) + t · ( − 1 1 2 ) = ( 1 1 7 ) + s · ( − 1 2 − 1 ) (1) 2 − t = 0 + 2 s ⇒ (2) − 1 + t = 1 + s (3) 3 + 2 t = 7 − s (1) 2 − t = 1 − 1 s ⇒ (2) − 1 + t = 1 + 2 s (3) 3 + 2 t = 7 − s Man wählt aus dem jeweiligen Gleichungssystem zwei beliebige Gleichungen aus und berechnet die Werte der Variablen s und t. Die dritte Gleichung wird dabei nicht verwendet. (1) 2 − t = 2 s; ⇒ s = 0; t = 2 (2) − 1 + t = 1 + s (1) 2 − t = 1 − s ⇒ s = − 1; t = 0 (2) − 1 + t = 1 + 2 s Nun setzt man die erhaltenen Werte für s und t in die Gleichung (Kontrollgleichung) ein, die nicht verwendet wurde. (3) 3 + 2 · 2 = 7 − 0 ⇒ 7 = 7 (3) 3 + 2 · 0 = 7 − (− 1) ⇒ 3 = 8 Widerspruch! Die Werte von s und t erfüllen also alle drei Gleichungen und sind somit eine Lösung für das ursprüngliche Gleichungssystem aus drei Gleichungen. Um den Schnittpunkt S zu berechnen, setzt man entweder t in die Parameterform von g oder s in die Parameterform von h1 ein. S = ( 2 − 1 3) + t · ( − 1 1 2 ) = ( 2 − 1 3) + 2 · ( − 1 1 2 ) = ( 0 1 7 ) ⇒ S = (0 | 1 | 7) Die beiden Geraden sind nicht parallel und haben keinen Schnittpunkt, also sind sie zueinander windschief. A z y x 2 6 8 10 12 14 4 8 12 16 24 28 2 6 B C D E F G H I J K L P O N M 743 Ó Arbeitsblatt Lagebeziehung von Geraden 6v9fp2 t 744 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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