18 1.4 Potenzen mit reellen Exponenten Lernziele: º Potenzen mit reellen Exponenten näherungsweise berechnen können Die reellen Zahlen lassen sich als Punkte auf der Zahlengeraden darstellen. Die Menge der reellen Zahlen entsteht durch die Erweiterung der rationalen Zahlen ℚ um die irrationalen Zahlen wie z.B. 9 _ 3(siehe Lösungswege 5, Kapitel 1). Die irrationalen Zahlen lassen sich mittels Intervallschachtelung beliebig genau durch rationale Zahlen annähern (approximieren). Dabei nähert man sich der Zahl beliebig genau durch immer kleiner werdende Intervalle. Im Kapitel Exponentialfunktionen werden Variablen im Exponenten einer Potenz auftreten, z.B. f(x) = 2 x . Da die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen sein soll, ist es sinnvoll auch Potenzen mit reellen Hochzahlen zu definieren. Da man 9 _ 3beliebig genau durch rationale Zahlen annähern kann, gilt dies beispielsweise auch für die Potenz 29 _ 3 : 2 1 < 2 9 _ 3 < 2 2 → 2 1,7 < 2 9 _ 3 < 2 1,8 → 2 1,73 < 2 9 _ 3 < 2 1,74 → 2 1,732 < 2 9 _ 3 < 2 1,733 usw. 2 9 _ 3 ist also jene Zahl, die zwischen all diesen Annäherungen liegt (Intervallschachtelung). Die bekannten Rechenregeln gelten auch für Potenzen mit reellen Exponenten: Rechenregeln für Potenzen mit reellen Exponenten Für alle a , b ∈ ℝ+ und m, n ∈ ℝ gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m : a n = a m _ a n = a m − n (3) (a m) n = a m · n (4) (a · b) m = a m · b m (5) ( a _ b) m = a m _ b m Ermittle durch eine Intervallschachtelung den Wert der Potenz auf drei Nachkommastellen genau. Kontrolliere mit Technologie. a) 2 9 _ 2 b) 3 9 _ 5 c) 5 9 _ 3 d) 7 9 _ 5 e) 4 9 _ 6 f) 8 9 _ 8 g) 10 9 _ 7 Zusammenfassung Potenzen a n...Potenz a...Basis n...Exponent (= Hochzahl) Das Ergebnis heißt Wert der Potenz. a 1 = a a 0 = 1 a−n = 1 _ a n (a ∈ ℝ +, a ≠ 0, und n ∈ ℝ) Für a ∈ ℝ , a ≥ 0und m, n ∈ ℕ\{0} gilt a m _ n = n 9 _ a m Rechenregeln für Potenzen (a , b ∈ ℝ+ und m, n ∈ ℝ) (1) a m · a n = a m+n (2) a m : a n = a m _ a n = a m − n (3) (a m) n = a m · n (4) (a · b) n = a n · b n (5) (a : b) n = ( a _ b) n = a n _ b n Kompetenzen Merke 80 Matroschka Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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