AG-R 3.2 AG-R 3.3 AG-R 3.3 AG-R 3.3 AG-R 3.3 AG-R 3.3 AG-R 3.3 AG-R 3.3 AG-R 3.2 AG-R 3.2 AG-R 3.3 179 Weg zur Matura Vektoren > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Gespiegelt Gegeben ist der Punkt P = (5|4|3). Q ist die Spiegelung des Punktes P am Koordinatenursprung. R ist die Spiegelung des Punktes P an der xy-Ebene. a) 1) Bestimme die Koordinaten von Q. 2) Bestimme die Koordinaten von R. b) 1) In P befindet sich eine punktförmige Lichtquelle. Ein Lichtstrahl trifft in Richtung ⎯ ⇀ PQ im Koordinatenursprung auf einen Spiegel in der xy-Ebene. Gib einen Vektor an, der der Richtung des reflektierten Strahls entspricht. c) 1) M ist ein Punkt im ℝ 3. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E P + ⎯ ⇀ PM = M P − ⎯ ⇀ PM = − M ⇀PR · ( 1 0 0 ) = 0 ⟶ PR = − ⟶ RP | ⇀PR | = |⎯ ⇀PQ | Projektionen In der Abbildung liegt der Punkt P M in der xy-Ebene, senkrecht unter dem Punkt M = (2|1|3). Stellt man sich vor, dass ein Lichtprojektor senkrecht (parallel zur z-Achse) auf die xy-Ebene scheint, so wäre P M der Schattenpunkt von M auf der xy-Ebene. Man nennt P M auch die Projektion von M auf die xy-Ebene. Der Punkt S M ist die Spiegelung von M an der xy-Ebene. a) 1) Bestimme die Koordinaten von S M und PM. b) Gegeben sind die Punkte A = (2|1|3), B = (2|– 4|3), C = (5|– 4|–1) und D = (5|1|–1). 1) Zeige, dass die Punkte A, B, C und D ein Quadrat bilden. 2) Zeige, dass die Projektion dieses Quadrates auf die xy-Ebene ein Rechteck aber kein Quadrat ist. c) 1) Wenn einer Einheit im Koordinatensystem 100 000 km entsprechen, dann entspricht der Abstand des Punktes M vom Koordinatenursprung in etwa der Entfernung Erde-Mond. Bestimme die Zeit, die das Licht vom Mond zur Erde benötigt (Lichtgeschwindigkeit ≈ 300 000 km/s). Die Bohrung Der Bohrvektor ⇀ beiner Probebohrung beschreibt den geradlinigen Weg eines Bohrkopfes innerhalb einer Stunde. Die erste Koordinate gibt dabei die Abweichung (in m) in nördlicher Richtung an, die zweite Koordinate gibt die Abweichung (in m) in östlicher Richtung und die dritte Koordinate gibt die vertikale Abweichung (in m) vom Ausgangspunkt P an. a) 1) Ein Bohrer beginnt an der waagrechten Erdoberfläche zu bohren. In welcher Tiefe befindet sich der Bohrer nach 3 Stunden, wenn für den Bohrvektor ⇀ b = ( 1 2 − 3 ) gilt? b) 1) Welche Strecke legt ein Bohrer mit dem Bohrvektor ⇀ b = ( 2 2 3 ) pro Stunde zurück? c) 1) In welche Himmelsrichtung bohrt ein Bohrer mit dem Bohrvektor ⇀ b = ( − 1 1 0 )? d) 1) Die Punkte P und Q liegen an der waagrechten Erdoberfläche. Der Punkt Q liegt in gleicher Tiefe genau 20 Meter westlich von P. Von P und Q wird gleichzeitig begonnen zu bohren. Gib die Bohrvektoren für P und Q an, sodass sich die beiden Bohrer nach einer Stunde genau in der Mitte zwischen P und Q in 5 Metern Tiefe treffen. M2 719 K Ó Arbeitsblatt Vektoren im Kontext h8jz9r M2 720 2 –2 2 4 2 4 0 y z x M(2 1 1 1 3) PM SM M2 721 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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