176 Vektoren > Das Vektorprodukt 10 Flächen und Volumsberechnungen Auf Grund seiner Eigenschaften kann das Vektorprodukt zur Berechnung von Flächeninhalten und Volumina geometrischer Körper verwendet werden. Flächeninhalt eines Dreiecks Da jedes Dreieck ein halbes Parallelogramm ist, ergibt sich als Flächenformel für das Dreieck: A Dreieck = 1 _ 2 · | ⇀a × ⇀ b | Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B und C. a) A = (2|5|1), B = (− 2|2|− 1), C = (2|4|0) c) A = (1|− 2|5), B = (− 3|− 2|1), C = (3|− 1|2) b) A = (0|− 1|5), B = (− 2|− 3|3), C = (− 4|− 5|1) d) A = (2|0|0), B = (0|0|0), C = (0|5|0) Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A = (− 2|6|5), B = (− 1|8|5), C = (− 4|7|5). a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks auf zwei verschiedene Arten. b) Berechne die Höhe des Dreiecks auf die Seite AC. Volumen eines Parallelepipeds Ein Parallelepiped wird von sechs Parallelogrammen begrenzt, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent sind. (Beweis siehe S. 285) V = |( ⇀a × ⇀ b ) · ⇀c | Berechne das Volumen des Parallelepipeds mit den Seitenvektoren ⇀a, ⇀ b, ⇀c. a) ⇀a = ( 2 1 − 1 ), ⇀ b = ( 3 2 − 2 ), ⇀c = ( 4 1 0 ) b) ⇀a = ( 2 − 2 1 ), ⇀ b = ( 2 1 − 3 ), ⇀c = ( − 1 1 1 ) c) ⇀a = ( 1 0 0 ), ⇀ b = ( 0 1 0 ), ⇀c = ( 0 0 1 ) Berechne das Volumen des Parallelepipeds mit den Eckpunkten A B, C und E. a) A = (− 3|− 5|1), B = (− 3|5|− 1), C = (− 3|5|0), E = (0|2|− 3) b) A = (1|2|0), B = (− 3|4|0), C = (− 2|5|0), E = (1|2|5) c) A = (6|2|− 1), B = (− 3|4|− 1), C = (3|1|1), E = (0|0|9) Volumen eines dreiseitigen Prismas Da jedes dreiseitige Prisma ein halbes Parallelepiped ist, gilt: V = 1 _ 2 · |( ⇀a × ⇀ b ) · ⇀c | Merke 1 1 2 3 4 1 0 y z x a a b b× Ó Technologie Anleitung Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen 44mm6v 708 709 Merke b c a 710 E A B C D F H G 711 Merke b c a Ó Technologie Anleitung Volumen berechnen GeoGebra 3ib3yu Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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