174 Vektoren > Das Vektorprodukt 10 Berechne das Vektorprodukt der Vektoren ⇀a u n d ⇀ b. Überprüfe mit Hilfe des Skalarproduktes, ob die Vektoren ⇀a und ⇀ bzum Vektor ⇀a × ⇀ b o r t h o g o n a l s i n d . a) ⇀a = ( − 2 1 − 2 ), ⇀ b = ( 1 1 − 2 ) b) ⇀a = ( − 3 7 − 2 ), ⇀ b = ( − 2 0 − 6 ) c) ⇀a = ( 1 2 − 3 ), ⇀ b = ( − 2 − 1 0 ) d) ⇀a = ( 5 3 − 2 ), ⇀ b = ( − 4 5 1 ) A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme einen Vektor, der normal auf die Dreiecksfläche steht. a) A = (− 2|1|1), B = (− 1|2|0), C = (1|− 1|1) c) A = (0|1|0), B = (− 1|2|0), C = (16|0|0) b) A = (4|7|− 3), B = (6|2|− 3), C = (0|−2|4) d) A = (1|1|1), B = (1|− 3|2), C = (1|7|2) Die Eigenschaften des Vektorproduktes – Das Ergebnis des Vektorproduktes ⇀a × ⇀ bist ein Vektor, der auf die beiden Ausgangsvektoren ⇀a u n d ⇀ b normal steht. ⇀a ⊥ ⇀a × ⇀ b u n d ⇀ b ⊥ ⇀a × ⇀ b – Der Betrag des Vektorproduktes ist genauso groß wie der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Ausgangsvektoren aufgespannt wird. A = | ⇀a × ⇀ b | (Beweis S. 284) – Die Vektoren ⇀a, ⇀ b u n d ⇀a × ⇀ b b i ld e n e i n Rechtssystem, das bedeutet: Wird der Vektor ⇀adurch den Daumen der rechten Hand und der Vektor ⇀ b durch deren Zeigefinger dargestellt, so sind Orientierung und Richtung des Kreuzproduktes ⇀a × ⇀ bdurch den Mittelfinger der rechten Hand festgelegt. Bestimme die Vektorprodukte ⇀a × ⇀ b und ⇀ b × ⇀a o h n e B e r e c h n u n g . a) ⇀a = ( 1 0 0 ), ⇀ b = ( 0 1 0 ) b) ⇀a = ( 0 0 1 ), ⇀ b = ( 1 0 0 ) c) ⇀a = ( 1 2 3 ), ⇀ b = ( 2 4 6 ) d) ⇀a = ( 0 0 4 ), ⇀ b = ( 4 0 0 ) Bestimme das Ergebnis des Kreuzproduktes. a) ⇀u × ⇀v c) ⇀v × ⇀u e) ⇀w × ⇀c g) ⇀w × ⇀a b) ⇀w × ⇀v d) ⇀a × ⇀c f) ⇀c × ⇀u h) ⇀ b × ⇀a Berechne die fehlenden Ecken und den Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Eckpunkten ABCD und dem Mittelpunkt M. a) A = (2|− 1|3), B = (− 3|− 1|0), C = (0|4|− 1) c) A = (0|− 1|5), M = (− 2|− 3|1), B = (3|−1|2) b) C = (3|− 2|3), M = (0|− 1|0), D = (− 2|− 3|− 1)d) C = (1|− 1|4), B = (− 5|1|2), D = (0|0|− 1) Bewegt sich ein geladenes Teilchen A mit der Geschwindigkeit ⇀v durch ein Magnetfeld ⇀B, so wirkt auf das Teilchen die Lorentzkraft ⇀F. Es gilt: ⇀F = ⇀v × ⇀B. a) Was sagt diese Formel über die Richtungen von ⇀F, ⇀v u n d ⇀B aus? b) Wie beeinflusst der Betrag der Geschwindigkeit die Lorentzkraft? c) Wie ändert sich ⇀F, wenn das Teilchen mit gleich großer, aber entgegengesetzt gerichteter Geschwindigkeit durch das Magnetfeld fliegt? d) Wie groß ist die Lorentzkraft auf ein ruhendes Teilchen? Begründe deine Antwort. 697 698 Merke a a b b × 699 tÓ Technologie Veranschaulichung Das Vektorprodukt und seine Eigenschaften 752b6i a c u v w b 1 –1 –1 1 1 –1 0 y z x 700 701 702 1 1 2 3 4 1 2 0 y z x A a a b b× v B A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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