174 Vektoren > Das Vektorprodukt 10 Berechne das Vektorprodukt der Vektoren ⇀a u n d ⇀ b. Überprüfe mit Hilfe des Skalarproduktes, ob die Vektoren ⇀a und ⇀ bzum Vektor ⇀a × ⇀ b o r t h o g o n a l s i n d . a) ⇀a = ( − 2 1 − 2 ), ⇀ b = ( 1 1 − 2 ) b) ⇀a = ( − 3 7 − 2 ), ⇀ b = ( − 2 0 − 6 ) c) ⇀a = ( 1 2 − 3 ), ⇀ b = ( − 2 − 1 0) d) ⇀a = ( 5 3 − 2 ), ⇀ b = ( − 4 5 1 ) A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme einen Vektor, der normal auf die Dreiecksfläche steht. a) A = (− 2 | 1 | 1), B = (− 1 | 2 | 0), C = (1 | − 1 | 1) c) A = (0 | 1 | 0), B = (− 1 | 2 | 0), C = (16 | 0 | 0) b) A = (4 | 7 | − 3), B = (6 | 2 | − 3), C = (0 | −2 | 4) d) A = (1 | 1 | 1), B = (1 | − 3 | 2), C = (1 | 7 | 2) Die Eigenschaften des Vektorproduktes – Das Ergebnis des Vektorproduktes ⇀a × ⇀ bist ein Vektor, der auf die beiden Ausgangsvektoren ⇀a und ⇀ b normal steht. ⇀a ⊥ ⇀a × ⇀ b u n d ⇀ b ⊥ ⇀a × ⇀ b – Der Betrag des Vektorproduktes ist genauso groß wie der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Ausgangsvektoren aufgespannt wird. A = | ⇀a × ⇀ b | (Beweis S. 284) – Die Vektoren ⇀a, ⇀ b und ⇀a × ⇀ b b i ld e n e i n Rechtssystem, das bedeutet: Wird der Vektor ⇀adurch den Daumen der rechten Hand und der Vektor ⇀ b durch deren Zeigefinger dargestellt, so sind Orientierung und Richtung des Kreuzproduktes ⇀a × ⇀ bdurch den Mittelfinger der rechten Hand festgelegt. Bestimme die Vektorprodukte ⇀a × ⇀ b und ⇀ b × ⇀a o h n e B e r e c h n u n g . a) ⇀a = ( 1 0 0 ), ⇀ b = ( 0 1 0 ) b) ⇀a = ( 0 0 1 ), ⇀ b = ( 1 0 0 ) c) ⇀a = ( 1 2 3 ), ⇀ b = ( 2 4 6 ) d) ⇀a = ( 0 0 4 ), ⇀ b = ( 4 0 0 ) Bestimme das Ergebnis des Kreuzproduktes. a) ⇀u × ⇀v c) ⇀v × ⇀u e) ⇀w × ⇀c g) ⇀w × ⇀a b) ⇀w × ⇀v d) ⇀a × ⇀c f) ⇀c × ⇀u h) ⇀ b × ⇀a Berechne die fehlenden Ecken und den Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Eckpunkten ABCD und dem Mittelpunkt M. a) A = (2 | − 1 | 3), B = (− 3 | − 1 | 0), C = (0 | 4 | − 1) c) A = (0 | − 1 | 5), M = (− 2 | − 3 | 1), B = (3 | −1 | 2) b) C = (3 | − 2 | 3), M = (0 | − 1 | 0), D = (− 2 | − 3 | − 1) d) C = (1 | − 1 | 4), B = (− 5 | 1 | 2), D = (0 | 0 | − 1) Bewegt sich ein geladenes Teilchen A der Ladung q (q > 0) mit der Geschwindigkeit ⇀vdurch ein Magnetfeld ⇀B, so wirkt auf das Teilchen die Lorentzkraft ⇀F. Es gilt: ⇀F = q · ( ⇀v × ⇀B ). a) Was sagt diese Formel über die Richtungen von ⇀F, ⇀v u n d ⇀B aus? b) Wie beeinflusst der Betrag der Geschwindigkeit die Lorentzkraft? c) Wie ändert sich ⇀F, wenn sich das Teilchen mit gleich großer, aber entgegengesetzt gerichteter Geschwindigkeit durch das Magnetfeld bewegt? d) Wie groß ist die Lorentzkraft auf ein ruhendes Teilchen? Begründe deine Antwort. 697 698 Merke a a b b × 699 tÓ Technologie Veranschaulichung Das Vektorprodukt und seine Eigenschaften 752b6i a c u v w b 1 –1 –1 1 1 –1 0 y z x 700 701 702 1 1 2 3 4 1 2 0 y z x A a a b b× v B A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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