173 10.3 Das Vektorprodukt Lernziele: º Definition des vektoriellen Produkts und seine geometrische Bedeutung kennen (AG-L 3.8) º Normalvektoren im Raum berechnen können º Flächen und Volumen mit Vektoren berechnen können Definition und Eigenschaften Zu einem einzigen Vektor im ℝ 3 gibt es unendlich viele normale Richtungen (s. Kap 10.1). Sucht man jedoch einen Normalvektor zu zwei (nicht parallelen) Vektoren ⇀a und ⇀ b, so gibt es nur eine passende normale Richtung. Alle Vektoren, die zu ⇀aund zu ⇀ bnormal sind, sind daher zueinander parallel und unterscheiden sich nur durch ihre Länge und Orientierung. Mit Hilfe des Vektorproduktes kann man im ℝ 3 einen Normalvektor zu zwei Vektoren finden, der besondere Eigenschaften aufweist. (Beweis S. 284) Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ⇀a × ⇀ b = ( x a y a z a ) × ( x b y b z b ) = ⎛ ⎜ ⎝ y a z b − z a y b − (x a z b − z a x b) x a y b − y a x b ⎞ ⎟ ⎠ , ⇀a, ⇀ b ∈ ℝ 3 ⇀a × ⇀ bsteht normal auf ⇀a u n d ⇀ b. Um sich diese Formel leichter merken zu können, gibt es folgendes Merkschema: x-Koordinate von ⇀a × ⇀ bstreichen y-Koordinate von ⇀a × ⇀ bstreichen z-Koordinate von ⇀a × ⇀ bstreichen xa xb ya yb za zb xa xb ya yb za zb xa xb ya yb za zb y a z b − z a y b − (x a z b − z a x b) x a y b − y a x b Berechne das Vektorprodukt der Vektoren ⇀a = ( 2 − 1 4 ) und ⇀ b = ( 3 − 2 1 ). Überprüfe mit Hilfe des Skalarproduktes, ob der Vektor ⇀azum Vektor ⇀a × ⇀ b o r t h o g o n a l i s t . ⇀a × ⇀ b = ( 2 − 1 4 ) × ( 3 − 2 1 ) = ⎛ ⎜ ⎝ (− 1) · 1 − 4 · (− 2) − (2 · 1 − 4 · 3) 2 · (− 2) − (− 1) · 3 ⎞ ⎟ ⎠ = ( 7 10 − 1 ) ⇒ ⇀a · ( ⇀a × ⇀ b ) = ( 2 − 1 4 ) · ( 7 10 − 1 ) = 0 ⇔ ⇀a und ( ⇀a × ⇀ b ) stehen aufeinander normal. Das Kreuzprodukt ⇀u × ⇀vzweier Vektoren ⇀u und ⇀v G Kreuzprodukt(u, v) oder u £ v (1, 2, 3) £ (2, 3, 4) A = (–1, 2, –1) C crossP(u,v) crossP([1,2,3],[2,3,4]) [–1,2,–1] T crossP(u,v) crossP([1,2,3],[2,3,4]) [–1,2,–1] Kompetenzen Merke Muster 696 Ó Technologie Übung Normalvektoren im Raum bestimmen d6n7ye Technologie Ó Technologie Anleitung Vektorprodukt u73i96 2 2 4 2 8 0 y z x a b n1 n2 n3 2 2 4 0 y z x a a b b× ⇀n i = (i = 1, 2, 3) sind Normalvektoren zu ⇀a u n d ⇀b. Sie haben im ℝ 3 alle die gleiche Richtung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=