172 Vektoren > Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum Bestimme den Winkel, den der Vektor ⇀amit der angegebenen Koordinaten-Ebene einschließt. a) ⇀a = ( 1 3 − 2 ), xy-Ebene b) ⇀a = ( 1 1 1 ), yz-Ebene c) ⇀a = ( 0 1 0 ), xz-Ebene d) ⇀a = ( 3 5 0 ), xy-Ebene Bestimmen eines Normalvektors Bestimme jeweils zwei verschiedene Normalvektoren zu den angegebenen Vektoren. a) ⇀a = ( 1 2) b) ⇀c = ( 3 − 1 ) c) ⇀x = ( 0 − 2 ) d) ⇀y = ( 43 1 ) e) ⇀t = ( 1 0) In der Ebene sind alle Normalvektoren eines Vektors ⇀aparallel zueinander (sie haben alle die gleiche Richtung, die Orientierung kann verschieden sein). Im ℝ 3 sind nicht alle Normalvektoren zu einem Vektor zueinander parallel. ⇀n 1 bis ⇀n 6 sind Normalvektoren zu ⇀a. Sie haben im ℝ 2 alle die gleiche Richtung. x y 2 4 6 8 101214 2 4 6 8 0 a n1 n2 n6 n3 n 5 n4 ⇀n 1 bis ⇀n 6 sind Normalvektoren zu ⇀a . Sie haben im ℝ 3 nicht alle die gleiche Richtung. 4 4 8 4 8 0 y z x a n 1 n2 n6 n3 n5 n4 Wie bei zweidimensionalen Vektoren gilt auch in drei Dimensionen das Orthogonalitätskriterium, welches aus der Vektor-Winkel-Formel für α = 90°herleitbar ist. Orthogonalitätskriterium Stehen zwei Vektoren ⇀ a und ⇀ b ( ⇀ aungleich Nullvektor, ⇀ bungleich Nullvektor) normal aufeinander, so ist ihr Skalarprodukt gleich null. ⇀a ⊥ ⇀ b ⇔ ⇀a · ⇀ b = 0 Bestimme einen Normalvektor ⇀nzum Vektor ⇀a = ( 2 3 5 ). Wenn man beim Vektor ⇀aeine beliebige Koordinate 0 setzt, die beiden anderen Koordinaten vertauscht und noch bei einer das Vorzeichen wechselt, so erhält man einen geeigneten Vektor ⇀n. Z.B. ⇀n = ( 3 − 2 0 ), denn es gilt ⇀a · ⇀n = ( 2 3 5 ) · ( 3 − 2 0 ) = 2 · 3 + 3 · (− 2) + 5 · 0 = 0. Finde drei nicht parallele Vektoren, die normal auf den angegebenen Vektor stehen. a) ⇀a = ( 1 2 3 ) b) ⇀c = ( 3 0 − 1 ) c) ⇀x = ( 1 5 − 2 ) d) ⇀y = ( 7 6 − 1 ) e) ⇀t = ( 3 − 3 0 ) f) ⇀ b = ( x y z ) Zeige, dass die beiden Vektoren ⇀a und ⇀ bnormal aufeinander stehen. ⇀a = ( a b − a ), ⇀ b = ( a 0 a ) Bestimme die Koordinate a so, dass ⇀x und ⇀yrechtwinklig zueinander stehen. a) ⇀x = ( 2 − 1 3 ); ⇀y = ( a 2 1 ) b) ⇀x = ( 0 1 a ); ⇀y = ( 2 − 1 3 ) c) ⇀x = ( − 2 3 − 1 ); ⇀y = ( 1 a 1 ) 690 Vorwissen 691 Merke Muster 692 693 Ó Technologie Übung Normalvektoren im ℝ 3 bestimmen 5c88rk AG-R 3.3 M1 694 AG-R 3.3 M1 695 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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