167 Vektoren > Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum Nenne ein allgemeines Entscheidungsmerkmal, an dem man Punkte erkennen kann, die a) in der xy-Ebene liegen b) auf der z-Achse liegen c) in der yz-Ebene liegen. Ein Spiegel wird in der xz-Ebene aufgestellt. Der Vektor ⇀a g i b t d i e Richtung eines einfallenden Lichtstrahls an. Gib einen Vektor ⇀a r an, der in Richtung des reflektierten Lichtstrahls weist. (Es gilt das Reflexionsgesetz: einfallender und reflektierter Strahl müssen mit dem Spiegel den gleichen Winkel einschließen und in einer senkrechten Ebene zum Spiegel liegen). a) ⇀a = ( 0 4 0 ) b) ⇀a = ( 1 4 0 ) c) ⇀a = ( 0 4 1 ) d) ⇀a = ( 1 4 1 ) Vektor zwischen zwei Punkten Gegeben sind die folgenden Punkte: A = (2 | − 3), B = (3 | 4), C = (− 2 | 1), D = (− 5 | − 3), O = (0 | 0). Berechne die angegebenen Vektoren. a) ⎯ ⇀AB b) ⎯ ⇀OB c) ⎯ ⇀BA d) ⎯ ⇀CD e) ⇀CA f) ⎯ ⇀OC g) ⎯ ⇀CO h) ⎯ ⇀DA i) ⎯ ⇀AD j) ⎯ ⇀DC Analog zur Vektorrechnung in der Ebene (im ℝ 2) kann man den Vektor zwischen zwei Punkten auch im Raum (im ℝ 3) mit Hilfe der „Spitze-minus-Schaft“-Regel berechnen. Berechne den Vektor ⎯ ⇀AB. A = (2 | 1 | 1), B = (5 | 2 | 4) ⎯ ⇀AB = B − A = ( 5 2 4 ) − ( 2 1 1 ) = ( 3 1 3 ) Vektor zwischen zwei Punkten Den Vektor ⎯ ⇀ABzwischen zwei Punkten A = (x A | y A | z A)und B = (x B | y B | z B) berechnet man auch im ℝ 3 mit Hilfe der „Spitze-minus-Schaft“-Regel: ⎯ ⇀AB = B − A = ( x B y B z B ) − ( x A y A z A ) Gegeben sind die folgenden Punkte: A = (2 | − 3 | 1), B = (3 | 4 | − 2), C = (− 2 | 6 | 1), D = (0 | − 5 |− 3), O = (0 | 0 | 0). Berechne die angegebenen Vektoren. a) ⎯ ⇀AB b) ⎯ ⇀OB c) ⎯ ⇀BA d) ⎯ ⇀CD e) ⇀CA f) ⎯ ⇀OC g) ⎯ ⇀CO h) ⎯ ⇀DA i) ⎯ ⇀AD j) ⎯ ⇀DC Berechne alle Seitenvektoren der abgebildeten Pyramide. a) A = (0 1 0 1 0) B = (0 1 6 1 1) C = (1 1 5 1 6) S = (– 6 1 8 1 9) D = (– 2 1 0 1 5) b) Die Grundfläche der Pyramide liegt in der xy-Ebene. 666 667 Ó Technologie Übung Vektoren an den Koordinatenebenen reflektieren x4u2us Vorwissen 668 2 4 –2 2 4 6 2 4 6 0 y z x 3 3 1 A B Muster 669 Merke 670 Ó Technologie Anleitung Vektoren zwischen 2 Punkten mit GeoGebra 2628wb 671 Ó Technologie Übung Koordinaten von Punkten und Vektoren bestimmen 33gx25 4 –4 4 8 12 4 8 12 0 y z x a ar 10 30 –10 –20 –30 –10 20 10 10 20 –20 –10 –30 –20 0 y z E C F = (–18 1 14 1 13) A B x D 48 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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