165 10.2 Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum Lernziele: º Übertragen bekannter Begriffe und Methoden aus der zweidimensionalen analytischen Geometrie auf drei Dimensionen º Die Grenzen der Analogie zwischen der Vektorrechnung im ℝ 2 und ℝ 3 erkennen º Geometrische Aufgaben mit Hilfe der Vektorrechnung lösen können (gegebenenfalls unter Einbeziehung der Elementargeometrie und Trigonometrie) Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 3.2 V ektoren geometrisch (als Punkt bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können AG-R 3.3 D efinition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Interpretation von Vektoren als Punkte und Pfeile In Lösungswege 5 wurden zweidimensionale Vektoren als Punkte und Pfeile interpretiert. In diesem Lehrwerk wird folgende Schreibkonvention benutzt: Wird ein Vektor als Pfeil interpretiert, so wird er in Spaltenform angeschrieben und mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet. Der Vektor steht dann für unendlich viele, gleich lange, parallele Pfeile mit gleicher Orientierung. Z.B.: ⇀a = (− 2 3 ) , ⇀ b = ( 2 5) Wird ein Vektor als Punkt interpretiert, wird er in Zeilenform angeschrieben und mit Großbuchstaben bezeichnet. Z.B.: A = (4|− 2), B = (2|5) In nebenstehender Abbildung haben alle bezeichneten Punkte ganzzahlige Koordinaten. Bestimme die Koordinaten der Vektoren durch Ablesen. a) ⎯ ⇀AB, ⎯ ⇀BC, ⎯ ⇀DE c) ⇀AF, ⇀GF, ⇀FG b) ⇀BJ, ⇀JE, ⇀BE d) ⎯ ⇀BG, ⇀JC, ⎯ ⇀HE Betrachte die Abbildung von Aufgabe 660. Gib alle Vektoren an, die a) die gleiche Richtung wie ⎯ ⇀ABhaben. c) die entgegengesetzte Orientierung zu ⎯ ⇀ABhaben. b) die gleich ⎯ ⇀ABsind. Vektor im R3 Ein Vektor im dreidimensionalen Raum ist ein Tripel von reellen Zahlen. Die Menge aller Tripel wird ℝ 3 genannt: ℝ n = {(a 1| a 2| a 3|) | a 1, a 2, a 3 ∈ ℝ}. Kompetenzen x y 2 4 6 8 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 3 5 – 2 2 8 –4 –6 –2 0 a a = a b b b = 2 2 5 3 2 –2 3 3 B = (2 1 5) A = (4 1 –2) Vorwissen x y 2 4 6 8 –6 –4 10 –2 2 4 –2 0 A B C H G F E D J 660 661 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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