157 Reihen > Geometrische Reihe Michael zahlt am Ende eines jeden Monats („nachschüssig“) 50 € auf ein mit 4 % p.a. verzinstes Sparbuch ein. Welchen Betrag hat er nach drei Jahren angespart? Der jährliche Aufzinsungsfaktor ist q = 1,04. Die Zinsperioden (drei Jahre) entsprechen nicht den Perioden, in denen Zahlungen erfolgen, da monatlich einbezahlt wird. Es gibt 12 · 3 = 36monatliche Zahlungen. Es ist vorher der äquivalente monatliche Aufzinsungsfaktor q 12 zu bestimmen. Darunter versteht man den Aufzinsungsfaktor, der in 12 Monaten das Kapital auf denselben Wert anwachsen lässt wie q. D.h. q 12 12 = q→ q 12 = 12 9 __ q q 12 = 12 9 _ 1, 04 ≈ 1, 0033 Die Zeitlinie veranschaulicht den Sachverhalt: 50 · q35 50 · q34 50 · q33 50 · q 12 50 E 1 2 3 36 … 35 12 12 12 Die letzte Zahlung wird nicht mehr verzinst! Die erste Zahlung wird 35 Monate verzinst, die zweite 34 Monate u.s.w. Daraus ergibt sich für den Endwert E = s36 = 50 + 50q12 + ... + 50 q12 35 = 50 · 1, 0033 36 − 1 _ 1, 0033 − 1 ≈ 1 907, 05 € Am Ende des dritten Jahres hat Michael rund 1 907,05 € angespart. Endwert einer nachschüssigen Jahresrente Eine Zahlung wird als nachschüssig bezeichnet, wenn sie am Ende der Verzinungsperiode erfolgt. Für den Endwert E einer mit p % p.a. verzinsten nachschüssigen Jahresrente R und einer Laufzeit von n Jahren gilt: E = R · q n − 1 _ q − 1 mitq = 1+ p _ 100 Berechne den Endwert, wenn der gegebene Betrag über den angeführten Zeitraum bei einer jährlichen Verzinsung von 2,5 % regelmäßig eingezahlt wird. a) 1 200 € am Jahresende, Laufzeit 25 Jahre d) 500 € am Jahresanfang, Laufzeit 10 Jahre b) 60 € am Monatsende, Laufzeit 10 Jahre e) 120 € am Quartalsanfang, Laufzeit 7 Jahre c) 120 € Quartalsende, Laufzeit 5 Jahre f) 90 € am Monatsanfang, Laufzeit 6 Jahre Zusammenfassung Reihen s n = a 1 + a 2 + ...+an Summenformel für die endliche arithmetische Reihe: s n = n _ 2 · (a 1 + a n) = n _ 2 · (2 a 1 + (n − 1)d) Summenformel für die endliche geometrische Reihe (für q ≠ 1): s n = b 1 · q n − 1 _ q − 1 Summenformel für die unendliche geometrische Reihe (für |q| < 1): s = b 1_ 1 − q Endwert (vorschüssig) nach n Jahren: Endwert (nachschüssig) nach n Jahren: E = R · q · q n − 1 _ q − 1 E = R · q n − 1 _ q − 1 Muster 634 Merke 635 Ó Arbeitsblatt Berechnung Barwert g4r49j Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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