156 Reihen > Geometrische Reihe 9 Regelmäßige gleichbleibende Zahlungen („Renten“) Jemand zahlt sechs Mal am Jahresbeginn (dies wird als „vorschüssige“ Zahlung bezeichnet) jeweils 2 000 € auf ein mit 2 % p.a. verzinstes Sparbuch. Welcher Betrag kann nach Ablauf der sechs Jahre behoben werden? Der Aufzinsungsfaktor lautet q = 1,02. Eine Zeitlinie veranschaulicht den Sachverhalt: Die erste Zahlung wird über einen Zeitraum von sechs ganzen Jahren verzinst, die zweite Zahlung über einen Zeitraum von fünf Jahren u.s.w. Die zuletzt getätigte Einzahlung wird noch ein Jahr lang aufgezinst. 2 000 · q6 2 000 · q5 2 000 · q4 2 000 · q3 2 000 · q2 2 000 · q E 1 2 3 6 4 5 Die einzelnen Zahlungen von 2 000 € ergeben mit Zinsen und Zinseszinsen zusammen den Endwert E. Dadurch entsteht eine endliche geometrische Reihe, deren Summe mit der Summenformel berechnet werden kann: E = s 6 = 2000q + 2000q 2 + 2 000 q3 + 2 000 q4 + 2 000 q5 + 2 000 q6 = = 2 000 q · q 6 − 1 _ q − 1 = 2000·1,02· 1, 02 6 − 1 _ 1, 02 − 1 ≈ 12 868, 57 € Nach sechs Jahren können 12 868,57€ behoben werden. Endwert einer vorschüssigen Jahresrente Eine Zahlung wird als vorschüssig bezeichnet, wenn sie am Beginn der Verzinsungsperiode erfolgt. Für den Endwert E einer mit p % p.a. verzinsten vorschüssigen Jahresrente R und einer Laufzeit von n Jahren gilt: E = R · q · q n − 1 _ q − 1 mitq = 1+ p _ 100 Ein Betrag von R € wird n Jahre lang vorschüssig auf ein mit p % pro Jahr verzinstes Sparbuch gelegt. Berechne das Guthaben am Ende des letzten Jahres. a) R = 500 €; p = 2,75; n = 5 b) R = 1000€; p = 3,5; n = 8 c) R = 4 500 €; p = 1,5; n = 15 d) R = 3 450 €; p = 4; n = 10 Welchen Betrag R hat jemand n Jahre lang vorschüssig auf ein mit p % pro Jahr verzinstes Sparbuch eingelegt, um am Ende der Laufzeit den Betrag E beheben zu können? a) E = 8950€; p = 2,5; n = 8 c) E = 70 557€; p = 2; n = 15 b) E = 33 992 €, p = 1,5; n = 5 d) E = 63 252 €; p = 0,5; n = 20 Nach welcher Laufzeit n wächst eine vorschüssige Jahresrente R bei einem Jahreszinssatz von p % auf den Endwert E an? a) R = 1 200 €; p = 2,4; E = 15 261,40 € c) R = 800 €; p = 3; E = 6 313,87€ b) R = 2 400 €; p = 1,8; E = 38 509,69 € d) R = 5 000 €; p = 1,2; E = 113 611,49 € Muster 630 Merke 631 632 633 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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