155 Reihen > Geometrische Reihe Stelle die periodische Dezimalzahl als unendliche geometrische Reihe dar. Verwandle unter Verwendung der Summenformel für die unendliche geometrische Reihe die periodische Dezimalzahl in einen Bruch. a) 0, _ 3 b) 0, _ 21 c) 0,‾021 d) 0,1 _ 8 e) 0,2 _ 45 Tipp: d) 0,1 _ 8 = 1 _ 10 + 8 _ 100 + 8 _ 1 000 + …, wobei die unendliche geometrische Reihe bei 8 _ 100beginnt. Anwendungen in der Finanzmathematik Zinseszinsformel Wird ein Anfangskapital K0 zu einem Jahreszinssatz p % über einen Zeitraum von n Jahren angelegt, gilt für das Endkapitel Kn: K n = K 0 · (1 + p _ 100) n = K 0 · q n Der Ausdruck 1 + p _ 100 = qwird als Aufzinsungsfaktor bezeichnet. Berechne das Endkapital (Endwert) für die gegebene Laufzeit n und den gegebenen Jahreszinssatz p %. a) K 0 = 3 450 €; p = 1,5; n = 4 b) K 0 = 5 600 €; p = 3,75; n = 8 c) K 0 = 10 000 €; p = 2; n = 10 d) K 0 = y €; p = 3,5; n = 5 Um wie viel Prozent wächst ein Kapital K0 in zwei Jahren bei dem gegebenen Jahreszinssatz? a) 1,75 % b) 2,5 % c) 3,25 % d) 4 % e) 4,15 % Auf einem mit 2 % p.a. (=pro anno; jährlich) verzinsten Sparbuch liegen 1 560,60 €. Wie groß war das Sparguthaben vor zwei Jahren? K n = K 0 · q n beschreibt das Guthaben nach Ablauf von n Jahren. Durch Umformen der Formel erhält man: K n _ q n = K n · q −n = K 0 q – n heißt Abzinsungsfaktor Um das Sparguthaben vor zwei Jahren zu ermitteln, muss der Betrag 1 560,60 € zwei Jahre abgezinst werden: 1 560,60 ·1,02 −2 = 1 500 € Vor zwei Jahren waren 1 500 € auf dem Sparbuch. Wie groß war das Guthaben K 0 vor n Jahren bei einem Jahreszinssatz von p %? a) K n = 588,53 €; n = 4, p = 1,25 c) K n = 5 000,211 €; n = 2, p = 2,6 b) K n = 10 042,66 €; n = 10, p = 2,3 d) K n = 7 812,40 €; n = 8, p = 1,75 625 Ó Arbeitsblatt Unendliche geometrische Reihen wd8af9 Vorwissen Merke 626 627 Muster 628 629 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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