154 Reihen > Geometrische Reihe 9 Berechne die Länge der Schlangenlinie aus Aufgabe 609, wenn das beschriebene Verfahren zum Erzeugen der Schlangenlinie unendlich oft fortgesetzt wird. Führe das Verfahren aus Aufgabe 610 unendlich fort. a) Berechne die Summe aller Umfänge der Quadrate. b) Berechne die Summe aller Flächeninhalte der Quadrate. An einen Halbkreis mit dem Radius r = 20 cmwird ein Halbkreis mit einem halb so großen Radius angefügt und dieses Verfahren unendlich oft wiederholt. Berechne die Gesamtlänge der so entstehenden Spirale. Auf ein Quadrat mit der Grundlinie a1 = 10 cmwird ein zweites Quadrat gestellt, dessen Seitenlänge dem Umkreisradius des ersten Quadrats entspricht. Auf das zweite Quadrat wird ein drittes Quadrat gestellt, dessen Seitenlänge dem Umkreisradius des zweiten Quadrats entspricht u.s.w. a) Wie hoch ist die gesamter Anordnung der Quadrate? b) Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate? c) Wie groß ist die Summe der Umfänge aller Quadrate? Ein Kreis hat den Radius r = 20 cm. Diesem Kreis wird ein Quadrat eingeschrieben, dem Quadrat wieder ein Kreis, dem Kreis wieder ein Quadrat u.s.w. Das Verfahren wird unendlich fortgesetzt. a) Berechne die Summe der Umfänge und Flächeninhalte aller Kreise. b) Berechne die Summe der Umfänge und Flächeninhalte aller Quadrate. Auf einer Rennstrecke fahren ein Auto und ein Motorrad gleichzeitig los. Das Motorrad hat einen Vorsprung von 200 m. Das Auto ist mit einer Geschwindigkeit von 216 km/h unterwegs, das Motorrad mit einer Geschwindigkeit von 180 km/h. a) Nach welchem Weg holt das Auto das Motorrad ein? b) Wie lange dauert es, bis das Auto das Motorrad einholt? Tipp: Überlege um wie viel mal schneller das Auto fährt. Stelle die periodische Dezimalzahl 0, _ 14als unendliche geometrische Reihe und als Bruch dar. Die periodische Dezimalzahl lässt sich als unendliche geometrische Reihe darstellen: 0,14 = 0,14141414 ... = 14 _ 100 + 14 _ 10 000 + 10 _ 1 000 000 = ... Es gilt: b1 = 14 _ 100 und q = 14 _ 10 000 : 14 _ 100 = 1 _ 100 < 1 Da q < 1ist, kann die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe verwendet und damit 0,14als Bruch dargestellt werden: 0, _ 14 = 14 _ 100 _ 1 − 1 _ 100 = 14 _ 100 _ 99 _ 100 = 14 _ 99 618 619 620 a1 a2 a2 a3 a3 a1 621 622 623 Ó Arbeitsblatt Achilles und die Schildkröte; Vertiefung harmonische Reihe h38mw2 Muster 624 r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=