151 Reihen > Geometrische Reihe Berechne den Wert der endlichen geometrischen Reihe. a) b 1 = 4, q = 3; s8 = ? c) b 1 = 2,q = − 2; s 11 = ? e) b 1 = 7, q = 2; s10 = ? b) b 1 = 20, q = 0, 5; s21 = ? d) b 1 = 4, q = 3; s8 = ? f) b 1 = 21, 5; q = 0, 25; s18 = ? Jemand schreibt ein gleichlautendes Mail an drei Personen und fordert jeden der Empfänger auf, das Mail innerhalb einer Woche wieder an drei weitere Personen zu versenden. Wie viele Personen erhalten innerhalb von zehn Wochen dieses „Kettenmail“, wenn die Kette nie unterbrochen wird? Die Anzahl der versendeten Mails bildet eine geometrische Folge: Die drei zu Beginn geschriebenen Mails bilden das erste Folgenglied. Die weiteren Folgenglieder entstehen durch die Multiplikation des jeweils vorangehenden Folgenglieds mit 3. Jeder Empfänger soll ja wieder an drei Personen die Mail verschicken. b1 = 3,b2 = 9,b3 = 27, b4 = 81, ...mit q = 3 Man muss s10 berechnen: s10 = b 1 · q 10 − 1 _ q − 1 = 3 · 3 10 − 1 _ 3 − 1 = 88 572 Es erhalten innerhalb von 10 Wochen 88 572 Personen eine Mail. Der Erfinder des Schachspiels wollte als Belohnung die Menge an Weizenkörnern, die man insgesamt erhält, wenn man auf das erste der 64 Felder des Schachbretts ein Korn, auf das zweite Feld 2 Körner und auf jedes folgende Feld doppelt so viele Körner legt wie auf das vorhergehende. a) Wie viele Weizenkörner würde das ergeben? b) Wie viele Lastzüge zu je 50 Waggons mit je 20 Tonnen Fassungs- vermögen könnten diese Weizenmenge befördern? (2 ,2 · 107 Weizenkörner wiegen 1 Tonne) Welchen Wert hat die endliche Reihe 5 + 15 + 45 + ... + 32 805? Man bestimmt zuerst q und anschließend die Anzahl n der Summanden: q = 15 _ 5 = 3 32 805 = 5 · 3 n−1 | : 5 6 561 = 3n−1 Lösen der Exponentialgleichung log(6 561)= (n − 1)log(3) | : log(3), + 1 log(6 561) _ log(3) + 1 = n 9= n Durch Einsetzen in die Formel erhält man die Summe: s9 = b 1 · q 9 − 1 _ q − 1 = 5· 3 9 − 1 _ 3 − 1 = 49 205 Berechne die Anzahl n der Summanden der endlichen geometrischen Reihe. a) s n = 65 535; b1 = 3; q = 4 d) s n = 19, 375; b1 = 10; q = 0,5 b) s n = 12 282; b1 = 6; q = 2 e) s n = 455 _ 27 ; b 1 = 7; q = 2 _ 3 c) s n = 1 534, 5; b1 = 1,5; q = 2 f) s n = 3 542 920; b1 = 40; q = 3 Berechne den Wert der Reihe. a) 1,5 + 3 + 6 + ...+ 3072 c) 10 + 5 + 2, 5 + ... + 0,15625 e) 6 + 18 + 54 + ... + 13122 b) 1 + 3 _ 4 + 9 _ 16 + ... + 81 _ 256 d) 1 + 4 + 16 + ... + 262144 f) 1 + 1 _ 2 + 1 _ 4 + ... + 1 _ 256 600 Muster 601 602 Muster 603 604 605 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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