Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

150 9.2 Geometrische Reihe Lernziele: º Die Definition einer geometrischen Reihe angeben können º Die Summenformel für die endliche geometrische Reihe kennen und anwenden können (FA-L 8.2) º Den Begriff der Summe einer unendlichen Reihe definieren können (FA-L 8.1) º Die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe kennen und anwenden können (FA-L 8.3) º Endwerte von regelmäßigen gleichbleibenden Zahlungen (Renten) berechnen können Gegeben ist die geometrische Folge 2, 4, 8, 16, 32, 64, … Es gilt ​b​1 ​= 2​und ​q = 2​. Werden die ersten n Glieder der Folge summiert, erhält man eine Folge von Teilsummen (Partialsummen), die als endliche geometrische Reihen bezeichnet werden: ​s ​1 ​= ​b ​1 ​= 2​ ​s ​2 ​= 2 + 4 = 6​ ​s ​3 ​= 2 + 4 + 8 = 14​ usw. Endliche geometrische Reihe Ist ​(​b ​n​) ​eine geometrische Folge mit den Folgengliedern b​ ​1​, ​b ​2​, ​b ​3​, ​b ​4​, …​, so bezeichnet man den Ausdruck ​s​n ​= ​b ​1 ​+ ​b ​2 ​+ ​b ​3 ​+ ​b ​4 ​+…+​b​n​ als endliche geometrische Reihe. Summenformel für die endliche geometrische Reihe Für die Berechnung der Summe s​ ​n ​= ​b ​1 ​+ ​b ​2 ​+ ​b ​3 ​+ ​b ​4 ​+…+​b​n − 1 ​+ ​b ​n ​lässt sich eine Formel herleiten: Dazu verwendet man das Bildungsgesetz der geometrischen Folge ​b​n ​= ​b ​1 ​· ​q ​ n − 1 ​und setzt ein: ​s ​n ​= ​b ​1 ​+ ​b ​1 ​q + ​b​1 ​​q ​ 2 ​+ ​b ​ 1 ​​q ​ 3 ​+…+​b​ 1 ​​q ​ n − 2 ​+ ​b ​ 1 ​​q ​ n − 1​ Nun wird die Gleichung mit q multipliziert und die erste Gleichung subtrahiert. Dadurch fallen auf der rechten Seite bis auf den ersten und den letzten alle Summanden weg. ​− ​{​ ​ ​ ​s​ n​ ​= ​b ​1 ​+​​b ​1 ​q + ​b​1 ​​q ​ 2 ​+ ​b ​ 1 ​​q ​ 3 ​+…+​b​ 1 ​​q ​ n − 2 ​+ ​b ​ 1 ​​q ​ n − 1​ ​s ​n ​· q​ ​=​ ​b ​1 ​q + ​b​1 ​​q ​ 2 ​+ ​b ​ 1 ​​q ​ 3 ​+…+​b​ 1 ​​q ​ n − 2 ​+ ​b ​ 1 ​​q ​ n − 1 ​+ ​b ​ 1 ​​q ​ n​ Herausheben und Umformen liefern eine Formel zur Berechnung von ​s​n:​ ​s ​n ​· q − ​s ​n ​ = ​b ​1 ​​q ​ n ​− ​b ​ 1​ ​s ​n ​· ​(q − 1) ​= ​b ​1 ​· ​(​q ​ n ​− 1) ​ ​| ​: ​(q − 1) ​mit q​ ≠ 1​ ​s​ n ​= ​b ​1 ​· ​ ​q ​n ​− 1 _ q − 1 ​ Summenformel für die endliche geometrische Reihe Für die Summe der endlichen geometrischen Folge gilt: ​s​n ​= ​b ​1 ​· ​ ​q ​n ​− 1 _ q − 1 ​ ​(q ≠ 1)​ Berechne für ​b​n ​= 4,5 · 0,​1​ n ​die Summe s​ ​ 30 ​der endlichen geometrischen Folge. Setzt man ​b​1 ​= 4,5 · 0,1 = 0,45​und ​q = 0,1​in die Summenformel ein erhält man die Summe: ​s ​30 ​= ​b ​1 ​· ​ ​q ​30 ​− 1 _ q − 1 ​= 0,45 · ​ 0,​1 ​30 ​− 1 _ 0,1 − 1 ​= 0,5​ Berechne für die geometrische Folge b​ ​n ​die angegebene Summe. a) ​b ​n ​= 2 · 1,​2​ n​; ​s ​ 10​ b) ​b ​n ​= 0,5 · ​4​ n​; ​s ​ 18​ c) ​b ​n ​= 5 · 0,​2​ n​; ​s ​ 30​ d) ​b ​n ​= − 3 · 0,​25​ n​; ​s ​ 50​ Kompetenzen Merke Merke Muster 598 599 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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