Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

148 Reihen > Arithmetische Reihe 9 Um eine allgemeine Formel zur Berechnung von ​s​n ​herzuleiten, geht man folgendermaßen vor: (​a ​n​) ist eine arithmetische Folge. s​ ​n ​= ​a ​1 ​+ ​a ​2 ​+ ​a ​3 ​+ ​a ​4 ​+…+​a​n ​die n-te Partialsumme. Man schreibt ​s​ n ​mit vertauschten Summanden untereinander und setzt ​a​ 2 ​= ​a ​1 ​+ d​, ​a​3 ​= ​a ​1 ​+ 2 d​u.s.w. Dann addiert man: ​s ​n ​= ​a ​1 ​+ ​a ​2 ​+ ​a ​3 ​+ ​a ​4 ​+…+​a​n​ ​s ​n ​= ​a ​n ​+ ​a ​n − 1 ​+ ​a ​n − 2 ​+ ​a ​n − 3 ​+…+​a​1​ ​s ​n ​ = ​ ​a ​1 ​+ ​(​a ​1 ​+ d) ​ +​ ​(​a ​1 ​+ 2 d) ​ ​+ ​(​a ​1 ​+ 3 d) ​​+…+​(​a ​1 ​+ ​(n − 2)​d) ​ ​+ ​(​a ​1 ​+ ​(n − 1)​d)​ ​ ​ ​}​+​ ​s ​n ​=​ ​a​n ​+ ​(​a ​n ​− d) ​ ​+ ​(​a ​n ​− 2 d) ​​+ ​(​a ​n ​− 3 d) ​​+ … + ​(​a ​n ​− ​(n − 2)​d) ​​+ ​(​a ​n ​− ​(n − 1)​d)​ ​2 ​s ​n ​= ​​(​a ​1 ​+ ​a ​n​) ​ ​+ ​ ​(​a ​1 ​+ ​a ​n​) ​​+ ​(​a ​1 ​+ ​a ​n​) ​​+ ​(​a ​1 ​+ ​a ​n​) ​​+…+​(​a ​1 ​+ ​a ​n​) ​​+ ​(​a ​1 ​+ ​a ​n​)​ Alle Ausdrücke mit d fallen weg und es bleiben n gleiche Summanden ​(​a ​1 ​+ ​a ​n​)​ über. ​s​ n ​= n​(​a ​1 ​+ ​a ​n​)​ ​| ​: 2​ ​s ​n ​= ​ n _ 2 ​(​a ​1 ​+ ​a ​n​)​ Summenformel für eine endliche arithmetische Reihe Für die endliche arithmetische Reihe gilt: ​s​ n ​= ​a ​1 ​+ ​a ​2 ​+ ​a ​3 ​+ ​a ​4 ​+…+​a​n ​= ​ n _ 2 ​· ​(​a ​1 ​+ ​a ​n​)​ Für ​a ​n ​= ​a ​1 ​+ ​(n − 1) ​d erhält man: ​s ​n ​= ​ n _ 2 ​· ​(​a ​1 ​+ ​a ​1 ​+ ​(n − 1)​d) ​= ​ n _ 2 ​· ​(2 ​a ​1 ​+ ​(n − 1)​d)​ Welchen Wert hat die endliche arithmetische Reihe ​1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99​? Man bestimmt die Anzahl der Summanden durch Einsetzen in die Formel für die explizite Darstellung einer arithmetischen Folge: ​d=2​und​99=1+​(n − 1) ​· 2 → 99 = 1 + 2 n − 2 → 99 = 2 n − 1 → 100 = 2 n → 50 = n​ Die Reihe besteht aus 50 Summanden. Durch Einsetzen in die Summenformel erhält man: ​1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99 = ​50 _ 2 ​· ​(1 + 99) ​= 25 ·100 = 2 500​ Berechne die Summe der endlichen arithmetischen Reihe. a) ​1 + 2 + 3 + … + 99 + 100​ e) ​5 + 8 + 11 + … + 143 + 146​ b) ​75 + 70 + 65 + … + 10 + 5​ f) ​121 + 110 + 99 + … + 22 + 11​ c) ​− 1,8 − 0,6 + 0,6 + 1,8 + … + 75​ g) ​6,1 + 5,8 + 5,5 + … − 19,1 − 19,4​ d) ​4 + 7 + 10 + 13 + … + 64​ h) ​− 1,2 − 0,7 − 0,2 + 0,3 + … + 12,3​ Welchen Wert hat die endliche arithmetische Reihe? a) ​5 + 7 + 9 + 11 + … + ​(e − 2) ​+ e​ c) ​10 + 15 + 20 + … + ​(f − 5) ​+ f​ b) ​1 + 4 + 7 + 10 + … + ​(g − 3) ​+ g​ d) ​− 4 − 8 − 12 − … − ​(h + 4) ​− h​ Gegeben ist die arithmetische Folge ​a​ n ​= 2 n − 1​. a) Berechne die ersten sechs Folgenglieder. Welche Zahlen werden durch den Folgenterm allgemein beschrieben? b) Berechne die Werte von ​s​10,​ ​s ​100 ​und s​ ​n.​ a) Berechne die Summe der geraden Zahlen von 100 bis 1 000. b) Berechne die Summe der ungeraden Zahlen von 205 bis 2055. Merke Muster 584 585 586 587 588 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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