147 9.1 Arithmetische Reihe Lernziele: º Die Definition der endlichen arithmetischen Reihe angeben können (FA-L 8.2) º Die Summenformel für die endliche arithmetische Reihe kennen und anwenden können Gegeben ist die arithmetische Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, … Es gilt a1 = 1und d = 3. Werden die ersten n Glieder der Folge summiert, erhält man eine Folge von Teilsummen (Partialsummen), die als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden: s 1 = a 1 = 1 s 3 = 1 + 4 + 7 = 12 s 5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35 s 2 = 1 + 4 = 5 s 4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22 s 6 = 1+4+7+10+13+16 = 51u.s.w. Endliche arithmetische Reihe Ist (a n) eine arithmetische Folge mit den Folgengliedern a1, a 2, a 3, a 4, ..., so bezeichnet man den Ausdruck sn = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ...+an als endliche arithmetische Reihe. Gegeben ist die arithmetische Folge (3, 6, 9, 12, 15, 18, …). a) Bilde die ersten sechs endlichen arithmetischen Reihen. b) Beschreibe s4 in Worten. a) s 1 = 3 s 3 = 3 + 6 + 9 = 18 s 5 = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 s 2 = 3 + 6 = 9 s 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = 30 s 6 = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63 b) s 4 ist die Summe der ersten vier Glieder der gegebenen arithmetischen Folge. Berechne die ersten fünf Partialsummen. a) (1, 2, 3, 4, ...) b) (1; 1, 5; 2; 2, 5; 3; 3, 5; ...) c) ( 1 _ 5; 8 _ 15; 13 _ 15; 6 _ 5; ...) Gegeben ist die arithmetische Folge (1, 3, 5, 7, 9, ...). Bilde s 1, s 2, s 3, s 4, s 5 und s6. Es ergeben sich die ersten sechs Glieder welcher Folge? Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die der Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer Obergrenze n entspricht. Gib die ersten fünf Dreieckszahlen an und begründe, dass es sich dabei um die Summen von endlichen arithmetischen Reihen handelt. Das Berechnen der Teilsummen ist für eine größere Anzahl von Summanden sehr langwierig. Man kann sich aber eine Formel zur schnelleren Berechnung der Summen überlegen. Gegeben ist die arithmetische Folge (1, 5, 9, 13, 17, ...). Gib s 8 an und berechne die Summe. Es ist die Summe s8 = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29zu berechnen. Dabei lässt sich eine gewisse Regelmäßigkeit erkennen: Betrachtet man a1 und a8 und berechnet die Summe, gilt: a 1 + a 8 = 1 + 29 = 30 Ebenso gilt für a2 und a7, a 3 und a6 sowie für a4 und a5: a 2 + a 7 = 5 + 25 = 30 a 3 + a 6 = 9 + 21 = 30 Es gilt: s8 = 4 · 30 = 120 a 4 + a 5 = 13+17 = 30 Kompetenzen Merke Muster 579 580 581 1 3 6 10 582 Muster 583 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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