134 Folgen > Monotonie und Grenzwert 8 Für eine (streng) monoton steigende Folge gilt an <a,d.h.a–an < ε Für eine (streng) monoton fallende Folge gilt an > a, d.h. an – a < ε } |an – a| < ε Bestimme für ε = 0,001 den Index n0 , ab dem alle weiteren Glieder der Folge an = 6 n _ 1 + 2 n in der ε-Umgebung um den Grenzwert a = 3 liegen. Man setzt in die Ungleichung |an – a| < ε die entsprechenden Werte ein und löst nach n auf: | 6 n _ 1 + 2 n – 3 | < 0,001 Auf gemeinsamen Nenner bringen. | 6 n – 3 – 6 n __ 1 + 2 n | < 0,001 | – 3 _ 1 + 2 n | < 0,001 D er Ausdruck zwischen den Betragsstrichen wird positiv gemacht. 3 _ 1 + 2 n < 0,001 | · (1 + 2 n) > 0 3 < 0,001 + 0,002 n 2,999 < 0,002 n | : 0,002 1 499,5 < n n0 = 1 500: D.h., ab dem Folgenglied a1 500 liegen alle weiteren Folgenglieder in der 0,001-Umgebung um 3. Da diese Untersuchung für alle beliebig kleinen positiven ε-Werte durchgeführt werden kann, ist a = 3 der Grenzwert der Folge. Es kann immer ein Index n0 gefunden werden, der angibt, ab dem wievielten Folgenglied alle weiteren in der ε-Umgebung um a liegen. Bestimme für das gegebene ε, ab dem wievielten Folgenglied alle weiteren Glieder der Folge an in der ε-Umgebung um den Grenzwert a liegen. a) an = 4 n _ 1 – n , a = ‒ 4, ε = 0,01 b) an = 2 n + 3 _ 4 + n , a = 2, ε = 0,001 c) an = 3 n + 2 _ 4 + 2 n , a = 1,5, ε = 0,0001 Überprüfe für ε = 0,001, dass an eine Nullfolge ist. a) an = 7 _ 1 + n b) an = 1 _ n c) a n = 3 _ 4 n d) an = 2 _ n2 e) an = n _ n2 – 1 f) an = 3 · 0,25 n Stelle eine Vermutung bezüglich des Grenzwerts von an auf und überprüfe diese für ε = 0,001. a) an = n – 1 _ 2 n + 3 b) an = 3 – 4 n _ n + 2 c) an = 2 n2 + 1 _ 1 + n2 d) an = 2 _ 5 n2 e) an = 8 n – 3 _ 5 + 2 n Hat die Folge an einen Grenzwert? Begründe deine Entscheidung. a) an = (‒ 1) n b) a n = 3 c) an = (‒ 1) n · n – 1 _ n d) a n = (‒ 2) n e) a n = (‒ 0,2) n a) Gegeben ist die Folge k0; 0,9; 0; 0,99; 0; 0,999; 0; 0,9999; 0; …l. Begründe, warum 1 nicht der Grenzwert ist. b) Hat die Folge k0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …l einen Grenzwert? Begründe deine Entscheidung. Nullfolgen können für die Bestimmung des Grenzwerts einer Folge sehr hilfreich sein. Dazu wird nun zusammengestellt, welche Form Nullfolgen haben können. Formen von Nullfolgen 1) an = konstante Zahl ____ Polynom mit Potenzen von n (z. B. an = – 6 _ n2 + 4 ) 2) an = T1(n) _ T2(n) , wobei T1(n) und T2(n) Polynome (mehrgliedrige Terme) sind und der Grad von T1(n) kleiner ist als der Grad von T2(n). Unter dem Grad versteht man die größte vorkommende Hochzahl einer Potenz. 2 z. B. an = 6 n – 1 _ 2 n2 + 3 3 3) an = k · qn, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist und q ein Wert zwischen ‒1 und 1. (z. B. an = 2 · 0,3 n) Muster 512 513 514 515 516 517 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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