131 8.2 Monotonie und Grenzwert Lernziele: º Aussagen über das Monotonieverhalten von Folgen machen und diese beweisen können º Schranken von Folgen angeben und Grenzwerte von einfachen Folgen ermitteln können º Definitionen monotoner und beschränkter Folgen kennen und anwenden können Monotonie von Zahlenfolgen Die Glieder einer Folge (a 1, a 2, a 3, ..., an, a n+1, ...) können sich auf unterschiedliche Arten entwickeln. Monotonie Wenn für alle n ∈ ℕ\{0} gilt: a n ≤ a n+1, heißt die Folge monoton steigend. Gilt a n < a n+1, nennt man die Folge streng monoton steigend. Wenn für alle n ∈ ℕ\{0} gilt: a n ≥ a n+1, heißt die Folge monoton fallend. Gilt a n > a n+1, nennt man die Folge streng monoton fallend. Wenn für alle n ∈ ℕ\{0} gilt: a n = a n+1, ist die Folge konstant. Ist eine Folge weder steigend noch fallend für alle n ∈ ℕ\{0}, so ist sie nicht monoton. Folgen, deren Glieder abwechselnd positiv oder negativ sind, bezeichnet man als alternierend. Gegeben ist die Folge an = 4n − 1 _ n . Bestimme das Monotonverhalten der Folge. Man berechnet beispielsweise die ersten fünf Folgenglieder und kann dadurch eine Vermutung über das Monotonieverhalten der Folge aufstellen: a1 = 3, a2 = 3, 5, a3 ≈ 3, 67, a 4 = 3,75, a5 = 3, 8 Die Folgenglieder scheinen immer größer zu werden. Das legt die Vermutung nahe, dass an streng monoton steigt. Man setzt eine Ungleichung an, um die Vermutung allgemein zu beweisen: a n < a n+1 Man setzt für n den Term n + 1ein 4n − 1 _ n < 4(n + 1) − 1 _ n + 1 | ·n(n + 1) > 0 (4n − 1)(n + 1)< (4n + 3)n 4 n 2 + 3n − 1 < 4 n2 + 3n | − 4 n 2 3n − 1< 3n | − 3n − 1< 0 Diese Ungleichung ist für alle natürlichen Zahlen richtig. D.h. an < a n+1 gilt nicht nur für die ersten Glieder oder eine gewisse Anzahl n, sondern ist allgemein gültig. Damit ist die Folge streng monoton steigend. Berechne die ersten fünf Glieder der Folge, stelle eine Vermutung über das Monotonieverhalten auf und beweise die Vermutung. a) a n = 6n − 3 _ 4n + 5 b) a n = n + 3 _ − 1 + 2n c) a n = 3n + 2 _ n 2 d) a n = 3n − 2 _ 4n + 2 e) a n = n 2 _ 2n + 3 f) a n = n + 1 _ 2n − 1 Kompetenzen Merke Muster 501 502 Ó Arbeitsblatt Monotonie von Zahlenfolgen p82g4j Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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