127 8.1 Zahlenfolgen und ihre Darstellung Lernziele: º Die Definition einer endlichen und unendlichen Zahlenfolge angeben können º Zahlenfolgen durch explizite und rekursive Bildungsgesetze beschreiben und graphisch darstellen können (FA-L 7.1) º Zahlenfolgen graphisch darstellen können º Zahlenfolgen als Funktion über ℕ auffassen können (FA-L 7.2) In vielen IQ-Tests sind Zahlen gegeben, die fortgesetzt werden sollen. Mathematisch stellt dies eine Zahlenfolge dar. Definition einer Folge Eine Zahlenfolge (kurz Folge) ist eine Aneinanderreihung von Zahlen, deren Position eindeutig festgelegt ist und nicht verändert werden darf. Die Glieder der Folge a werden mit an bezeichnet, d. h. a = ka1, a2, a3, a4, a5, …l. Betrachtet man die Folge k3, 5, 7, 9, 11, …l, so gilt a4 = 9, d.h. das 4. Folgenglied nimmt den Wert 9 an. a n wird als n-tes Glied der Folge a bezeichnet. n gibt die Position des Folgengliedes an. Es gilt: n = 1, 2, 3, 4, ... Folgen können endlich bzw. unendlich sein. Wenn nicht anders angegeben, geht man jedoch vom unendlichen Fall aus. Die Glieder einer Zahlenfolge werden in runde oder spitze Klammern geschrieben: (a 1, a 2, a 3, a 4, ...) bzw. ka1, a2, a3, a4, …l. In Anwendungsaufgaben kann es auch sinnvoll sein, Folgen der Art (a0, a1, a2, …) zu betrachten, d.h. n = 0, 1, 2, 3, … zu wählen. Zu beachten ist dabei, dass dann z.B. a3 dem 4. Folgenglied entspricht. Termdarstellung Folgen können durch die Angabe eines Terms, der das n-te Folgenglied beschreibt, angegeben werden. Man sagt: Die Folge ist explizit gegeben. Die einzelnen Folgenglieder erhält man, indem man für n der Reihe nach 1, 2, 3, usw. einsetzt und berechnet. Bestimme die ersten fünf Folgenglieder für die Folge an = n 2. Es werden für n die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 eingesetzt. Für n = 1gilt: a1 = 1 2 = 1; für n = 2gilt: a 2 = 2 2 = 4; a 3 = 3 2 = 9, a 4 = 4 2 = 16, a 5 = 5 2 = 25(Folge der Quadratzahlen) Berechne die ersten fünf Glieder der Folge. a) a n = 3n − 1 c) a n = 2 n e) a n = (− 1) n b) a n = 2n 2 + 1 d) a n = 2 _ n f) a n = (− 1) n · (3n − 2) Bestimme die ersten sechs Glieder der Folge. a) a n = (− 1) n+1 · n c) a n = (− 1) 2n _ n e) a n = (− 1) 2n−1 · n 2 b) a n = 1 − (− 1) n _ 4 d) a n = (− 1) n−1 · 3n Kompetenzen 2 – 5 – 9 –14 –20 – 8 – 27 – 64 – ? ? – 216 – 343 ? Merke Muster 480 481 482 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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