12 Potenzen > Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 1 Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Die Potenzregeln für Potenzen mit natürlichen Exponenten gelten weiter. Bei der Division von zwei Potenzen mit gleicher Basis muss jedoch, nachdem auch negative Exponenten eingeführt worden sind, die Hochzahl des Zählers (des Dividenden) nicht mehr größer sein als die Hochzahl des Nenners (des Divisors). Potenzen mit gleicher Basis Für alle a , b ∈ ℝ\{0} und m, n ∈ ℤ gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m : a n = a m _ a n = a m − n (3) (a m) n = a m · n (4) (a · b) n = a n · b n (5) (a : b) n = ( a _ b) n = a n _ b n Die Beweise für die Regeln (1), (2) und (3) befinden sich im digitalen Zusatzmaterial. Schreibe den Term x −3 _ y −4 mit positiven Exponenten an. Dazu werden die Potenzen mit negativen Exponenten zuerst als Brüche geschrieben und der Doppelbruch danach aufgelöst. Dabei ist zu beachten: Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. x −3 _ y −4 = 1 _ x 3 _ 1 _ y 4 = 1 _ x 3 · y 4 _ 1 = y 4 _ x 3 Man erkennt: Die negativen Exponenten werden positiv, in dem man die Potenzen vom Zähler in den Nenner bzw. vom Nenner in den Zähler verschiebt. Schreibe mit positiven Exponenten an. a) x −5 _ y −1 c) x −2 · a −3 _ y −4 · b −5 e) x −1 _ 5 · y 4 g) 5 −3 x 2 _ y −7 i) a 3 · b −4 · c −6 _ 9 −1 d 3 b) a −1 · b _ c · d −2 d) 4 · x −6 _ y −6 f) x −1 · z −2 _ y 5 h) 2 a −2 · b −3 · c 4 _ 5 d −1 j) 3a · b −4 · c −2 _ d · e −1 · f 2 Stelle den Term mit positiven Exponenten dar und vereinfache so weit wie möglich. a) a −3 · b _ a · b −4 b) 2 −1 · c 2 _ c −2 · 2 3 c) x −2 _ 2 · x 2 d) 5 · x 5 _ x −6 e) 2 · x −6 · y _ 3 · x 6 Stelle mit positiven Exponenten und ohne Klammern dar. a) x + 1 _ x −2 b) 2x − y _ y −3 c) (a + b) −1 _ a + b d) 2a − b _ a −1 · b −2 e) a 2 − b 3 _ (2ab) −1 Schreibe als Bruch und löse die Klammer auf. a) (2a) −3 b) (− 2b) −4 c) (3 c 3) −2 d) (− 4 d 5) −3 e) (5 e 4) −4 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit einer positiven Hochzahl dar. a) 3 2 · 3 4 · 3 −7 b) 2 3 · 2 −5 · 2 −3 c) 5 −1 · 5 4 · 5 −3 d) 9 2 · 3 −2 · 3 −8 e) 8 −2 · 4 2 · 2 Löse die Klammern auf und stelle das Ergebnis mit positiven Exponenten dar. a) (a + a 2 + a −2) · a b) x −2 · (3 − 4 x 2 + 5x) c) (b 2 − b −3) · (b −1 + 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E x −3 : x −4 = x −7 x −3 · x −3 = x 9 x 0 : (x 2 · x −2) = 1 x −3 : x −3 = 0 (x −4) −3 = x 12 Merke Ó Vertiefung Beweis der Potenzregeln e2if3t Muster 32 33 34 35 36 37 38 AG-R 2.1 M1 39 ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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