116 7.3 Harmonische Schwingungen Lernziele: º Funktionen der Form f(x) = a · sin(b · (x + c)) darstellen und ablesen können º Die Begriffe Frequenz, Amplitude und Phasenverschiebungszeit kennen und anwenden können º Die Funktionsgleichung einer harmonischen Schwingung aufstellen und ablesen können º Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus kennen und anwenden können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 6.1 G raphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f(x) = a · sin(b · x) als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA-R 6.3 D ie Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können FA-R 6.4 P eriodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können FA-R 6.5 W issen, dass cos(x) = sin(x + π _ 2 ) Allgemeine Sinusfunktionen der Form f(x) = a·sin (b·(x + c)) Die Sinusfunktion f mit f(x) = sin(x) wurde bereits in 7.2 genauer behandelt. Diese Funktion ist periodisch mit kleinster Periode 2 π. Man sagt auch: „Der Graph von f schwingt im Intervall [0; 2π] genau einmal.“ Verwende zur Lösung dieser Aufgabe Technologie. a) Zeichne die Graphen der Funktionen f, g, h und i. f(x) = sin(x) g(x) = 2 · sin(x) h(x) = sin(2 · x) i(x) = − sin(x) b) Erkläre, welche Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktionen von f, g, h und i erkennbar sind. Wie oft schwingt der Graph von g, h und i im Intervall [0; 2π]? Funktionen der Form f(x) = a · sin(bx) Funktionen der Form f(x) = a · sin(x) f(x) = sin(bx) 0 –π –2π π – 2 3π – 2 π 2π π –– 2 3π –– 2 1 2 3 –1 –2 –3 –4 y x f1(x) = 0,5 sin(x) h(x) = sin(x) f2(x) = 3 sin(x) – 0 π –2π –3π –4π π 2π 3π 4π 1 2 3 –1 –2 –3 –4 y x f1(x) = sin(0,5 x) h(x) = sin(x) f2(x) = sin(3 x) Vergleicht man die Graphen der Funktionen f mit f(x) = a · sin(x) (a ∈ ℝ\{0}) und h mit h(x) = sin(x), erkennt man: Die Anzahl der Schwingungen im Intervall [0; 2π] bleibt gleich. Vergleicht man die Graphen der Funktionen f mit f(x) = sin(bx) (b ∈ ℝ +) und h mit h(x) = sin(x), erkennt man: Der Parameter b gibt die Anzahl der Schwingungen im Intervall [0; 2π] an. Ist a > 1, dann wird der Graph von h mit h(x) = sin(x) entlang der y-Achse gestreckt. Ist 0 < a < 1, dann wird er entlang der y-Achse gestaucht. Ist a negativ, dann wird der Graph der Funktion r mit r(x) = |a| · sin(x) entlang der x-Achse gespiegelt. Ist b > 1, dann wird der Graph von h mit h(x) = sin(x) entlang der x-Achse mit dem Faktor 1 _ b gestaucht. Ist 0 < b < 1, dann wird er entlang der x-Achse mit dem Faktor 1 _ b gestreckt. Kompetenzen 0 π – 2 3 π – 2 π 2π f schwingt in [0; 2π] genau einmal 1 –1 f(x) f x 445 Ó Technologie Darstellung allgemeine Sinusfunktionen 96u2zq Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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