114 Winkelfunktionen > Sinus, Cosinus- und Tangensfunktion 7 Die Winkelfunktionen Sinusfunktion f : ℝ → [− 1; 1], f(x) = sin(x) kleinste Periode: 2 π 0 –π –2π π – 2 3π – 2 5π – 2 π 2π Periodenlänge 2π f(x) = sin(x) π –– 2 3π –– 2 5π –– 2 1 2 –1 f(x) x Cosinusfunktion: f : ℝ → [− 1; 1], f(x) = cos(x) kleinste Periode: 2 π 0 –π –2π π – 2 3π – 2 5π – 2 π 2π Periodenlänge 2π f(x) = cos(x) π –– 2 3π –– 2 5π –– 2 1 2 –1 f(x) x Tangensfunktion: f : ℝ\{± π _ 2 ; ± 3π _ 2 ; ± 5π _ 2 ; ...} → ℝ, f(x) = tan(x) kleinste Periode: π 0 –π –2π π – 2 3π – 2 5π – 2 π 2π Periodenlänge π f(x) = tan(x) π –– 2 3π –– 2 5π –– 2 1 2 –1 –2 f(x) x Gib die Definitionsmenge, die Wertemenge, die Nullstellen und Extremstellen der Sinusfunktion an. Untersuche die Funktion auch auf Periodizität, Monotonie und Symmetrie. Wie lautet die kleinste Periode? Die Eigenschaften der Sinusfunktion kann man anhand des Einheitskreises oder anhand des Graphen ablesen: Da der Sinus für alle reellen Zahlen definiert ist und nur die Werte zwischen − 1und 1 annimmt, gilt: Definitionsmenge: ℝ und Wertemenge: [− 1; 1]. Es ist zu beachten, dass es unendlich viele Nullstellen und Extremstellen gibt. Es ist daher hilfreich, zuerst einige Nullstellen abzulesen und diese anschließend zu verallgemeinern: Nullstellen bei x = 0, π, 2π, − π ... allgemein bei x = k · π, k ∈ ℤ Maximumstellen bei x = π _ 2 , − 3π _ 2 , 5π _ 2 allgemein bei x = π _ 2 +k·2π, k ∈ ℤ Minimumstellen bei x = 3π _ 2 , 7π _ 2 , − π _ 2 allgemein bei x = 3π _ 2 +k·2π, k ∈ ℤ streng monoton fallend: [π _ 2 ; 3π _ 2 ] allgemein: [ π _ 2 +k·2π; 3π _ 2 +k·2π], k ∈ ℤ streng monoton steigend: [− π _ 2 ; π _ 2 ] allgemein: [− π _ 2 +k·2π; π _ 2 +k·2π], k ∈ ℤ Die Sinusfunktion ist periodisch mit kleinster Periode 2 π: Es gilt somit für alle x : sin(x) = sin(x + 2π). Die Sinusfunkton ist eine ungerade Funktion. Es gilt für alle x : f(x) = − f(− x). Merke Ó Technologie Darstellung Winkelfunktionen 46h32p Muster 437 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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