113 Winkelfunktionen > Sinus, Cosinus- und Tangensfunktion Graph und Eigenschaften der Winkelfunktionen Erkläre den genannten Begriff. a) periodische Funktion b) gerade Funktion c) ungerade Funktion 1) Gib an, ob die Funktion periodisch ist und bestimme – wenn möglich – die kleinste Periode. 2) Ist die Funktion eine gerade oder ungerade Funktion? 3) Gib zwei Nullstellen der Funktion an. a) b) 0 1 2 3 4 1 –1 –1 –4 –3 –2 f(x) f x 0 1 2 3 4 1 –1 –1 –4 –3 –2 f(x) f x Im weiteren Verlauf wird mit dem Bogenmaß gearbeitet. Mit der Erweiterung der Winkelfunktionen auf die ganze Menge ℝ (beim Tangens müssen die Stellen ± π _ 2 ; ± 3π _ 2 ; ± 5π _ 2 ; ... ausgenommen werden), kann man die Graphen der Winkelfunktionen zeichnen. Erstelle für die gegebene Funktion eine Wertetabelle und zeichne den Graphen der Funktion im Intervall [− π; 4π]. a) f(x) = sin(x) b) f(x) = cos(x) Tipp: Für die Wertetabelle von Winkelfunktionen sind Argumente wie x = π _ 2 ; π; ...besonders geeignet. Man kann die Graphen der Winkelfunktionen u.a. mit Hilfe des Einheitskreises darstellen. Um beispielsweise den Graphen der Sinusfunktion zu zeichnen, betrachtet man einen Punkt, der sich entlang des Einheitskreises bewegt. Zu jedem Winkel x wird der Sinuswert des Winkels als Funktionswert an der Stelle x eingezeichnet. Es gilt z.B.: sin(0) = 0und sin(π) = 0 Daher schneidet der Graph von f mit f(x) = sin(x) die x-Achse an den Stellen 0 und π. Da der Punkt den Einheitskreis aber unendlich oft durchläuft, hat der Graph auch bei − π; − 2π; − 3π; + 2π, ...Nullstellen. 0 –π π – 2 π – 2 3π – 2 5π – 2 π 2π 3π π –– 2 3π –– 2 1 2 P Q –1 –2 f(x) f(x) = sin(x) x sin 2 3 3π –– 2 sin 2 3 3π –– 4 sin 2 3 π–– 4 5π – 4 7π – 4 sin 2 3 = π–– 4 sin 2 3 π – 2 sin 2 3 = π – 2 sin 2 3 5π – 2 sin 2 3 = = 1 5π – 2 sin 2 3 3π –– 2 sin 2 3 5π – 4 sin 2 3 = 5π – 4 sin 2 3 7π – 4 sin 2 3 = ... 7π – 4 Das gleiche Prinzip kann man auch auf die Cosinus- und Tangensfunktion anwenden. In den folgenden Abbildungen kann man auch die kleinste Periode der Winkelfunktionen erkennen. Vorwissen t 434 t 435 t 436 Ó Technologie Darstellung Sinusfunktion p89uc6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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