112 Winkelfunktionen > Sinus, Cosinus- und Tangensfunktion 7 Erweiterung der Winkelfunktionen In Lösungswege 5 wurden die Winkelfunktionen nur von 0° bis 360° betrachtet. Es ist nun naheliegend, die Winkelfunktionen – wenn möglich – auf die ganze Menge ℝ zu erweitern. Was versteht man allerdings unter einem Winkel α = 400°oder β = − 45°? Die Bewegung des Punktes P entlang des Einheitskreises kann man mit einem Winkel beschreiben. Bei 400° durchläuft der Punkt gegen den Uhrzeigersinn einmal komplett die Kreislinie und bewegt sich anschließend um 40° weiter. Bei − 45°bewegt sich der Punkt um 45° im Uhrzeigersinn. Man kann dieses Prinzip auch auf Winkel im Bogenmaß anwenden. cos(α) tan(α) sin(α) 0 y 1 x 1 P α = 400° tan(β) sin(β) cos(β) 0 y 1 x 1 P β = – 45° β‘ = 315° anhand der Abbildung erkennt man: anhand der Abbildung erkennt man: sin(400°) = sin(400° − 360°) = sin(40°) sin(− 45°) = sin(− 45° + 360°) = sin(315°) cos(400°) = cos(400° − 360°) = cos(40°) cos(− 45°) = cos(− 45° + 360°) = cos(315°) tan(400°) = tan(400° − 360°) = tan(40°) tan(− 45°) = tan(− 45° + 360°) = tan(315°) Sinus, Cosinus, Tangens eines Winkels α im Gradmaß und β im Bogenmaß sin(α) = sin(α − 360°) = sin(α + 360°) sin(β) = sin(β − 2π) = sin(β + 2π) c os(α) = cos(α − 360°) = cos(α + 360°) cos(β) = cos(β − 2π) = cos(β + 2π) tan(α) = tan(α − 360°) = tan(α + 360°) tan(β) = tan(β − 2π) = tan(β + 2π) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E sin(π _ 2 ) = sin( 2π __ 2 ) cos( π _ 4 ) = cos( 5π _ 4 ) tan( π _ 5 ) = tan( 21π _ 5 ) sin( π _ 3 ) = sin(− 2π _ 3 ) cos( 15π _ 2 ) = cos( 7π _ 2 ) Gegeben ist der Winkel α = 814°. Gib alle Winkel zwischen 0° und 360° an, die denselben Sinuswert wie sin(α) annehmen. Es gilt sin(α) = sin(α − 360°). Durch zweimalige Anwendung dieser Regel erhält man: sin(814°) = sin(814° − 2 · 360°) = sin(94°) Durch Betrachtungen am Einheitskreis weiß man, dass der Sinus im 1. und 2. Quadranten positiv ist. Aus diesem Grund gilt: sin(94°) = sin(86°) → α 1 = 86°und α 2 = 94°. Gegeben ist der Winkel α. Gib alle Winkel zwischen 0° und 360° bzw. [0; 2π] an, die denselben Sinuswert wie sin(α) annehmen. a) α = 409° b) α = 476° c) α = 835° d) α = 944° e) α = 12, 43 rad MerkeÓ Technologie Darstellung Zusammenhänge am Einheitskreis eu38at tFA-R 6.2 M1 431 Muster 432 t 433 Ó Arbeitsblatt Winkelfunktionen erweitern 9j9b2k Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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