110 Winkelfunktionen > Das Bogenmaß Da der Umfang des Einheitskreises mit u = 2 · 1 · π = 2 · π berechnet werden kann, können bestimmte Kreisteile relativ einfach im Kopf in den verschiedenen Winkelmaßen angegeben werden. – Z.B. entspricht 90° einem Viertel von 360°. Bei der Umwandlung ins Bogenmaß nimmt man daher ein Viertel von 2 π und erhält 9 0° = 2π _ 4 rad = π _ 2 rad. – 45° entspricht der Hälfte von 90°. Bei der Umwandlung ins Bogenmaß nimmt man daher die Hälfte von π _ 2 und erhält 4 5° = 1 _ 2 · π _ 2 rad = π _ 4 rad. – 135° kann man in 9 0° + 45°zerlegen. Bei der Umwandlung ins Bogenmaß kann z.B. wie folgt vorgegangen werden: 135°= π _ 2 + π _ 4 rad = 3π _ 4 rad. Die folgenden Werte sollte man auswendig wissen bzw. sich herleiten können. α(°) 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° α(rad) 0 π _ 4 π _ 2 3π _ 4 π 5π _ 4 3π _ 2 7π _ 4 2π Um für beliebige Winkel zwischen den Winkelmaßen wechseln zu können, kann man die Formel zur Berechnung des Kreisbogens am Einheitskreis verwenden und erhält folgenden Zusammenhang: α rad = b = π · α° _ 180 ⇒ α rad _ π = α° _ 180 Zusammenhang zwischen einem Winkel α im Bogenmaß und Gradmaß α rad _ π = α° _ 180 Gib den Winkel α = 37, 5° im Bogenmaß an. α rad _ π = 37, 5° _ 180 | ·π ⇒α rad = 37, 5 _ 180 · π ≈ 0, 654 Gib den Winkel im Bogenmaß an. a) 83,4° b) 61,4° c) 1,4° d) 112,35° e) 192,8° f) 201,3° g) 358° Gib den Winkel in Grad an. a) 5,56 b) 1,32 c) 0,51 d) 2,34 e) 3,14 f) 6,1 g) 3,16 Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels α GGrad: sin(α°) Bogenmaß: sin(α) sin(90°) =1 sin(π _ 2 ) = 1 C gewünschte Einheiten in der unteren Symbolleiste einstellen; Math1 → sin(90°) = 1 T Grad: sin(α) Bogenmaß: sin(α r) r erhält man mittels π und dann r auswählen sin(90)=1 sin((π _ 2 ) r) = 1 Überprüfe die Richtigkeit der Aussagen mit Hilfe eines elektronischen Tools. Hinweis: b, d und f sind im Bogenmaß angegeben. a) sin(34°) ≈ 0, 56 c) cos(34°) ≈ 0, 83 e) tan(34°) ≈ 0, 67 b) sin(0, 47) ≈ 0, 45 d) cos(0, 47) ≈ 0, 89 f) tan(0, 47) ≈ 0, 51 0 y x 1 2 1 2 rad = 90° rad = 135° rad = 225° 3π – 4 rad = 270° 3π – 2 5π – 4 rad = 315° 7π – 4 π – 2 rad = 45° π – 4 2 π rad = 360° π rad = 180° Merke Muster 424 425 426 Technologie Ó Technologie Anleitung Sinus, Cosinus und Tangens berechnen g8d2c4 427 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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