109 7.1 Das Bogenmaß Lernziele: º Das Bogenmaß definieren können º Winkel vom Bogenmaß in das Gradmaß und umgekehrt umwandeln können In der Unterstufe wurden bereits Formeln zur Berechnung des Kreisumfangs und zur Berechnung der Bogenlänge eines Kreissektors erarbeitet. Umfang eines Kreises: u = 2rπ Länge des Kreisbogens mit Winkel α : b = rπα _ 180 Ordne den beschriebenen Kreissektoren ihre Bogenlänge zu. 1 Ganzer Kreis A rπ 2 Halber Kreis B rπ _ 2 3 Viertelkreis C 3rπ _ 2 4 Dreiviertelkreis D 3rπ _ 4 E rπ _ 4 F 2rπ In Lösungswege 5 wurden bereits Sinus, Cosinus und Tangens vorgestellt. Dabei wurden Winkel im Gradmaß angegeben. 1° entspricht 1 _ 360 eines vollen Kreises. Die Einteilung in 360 Teile geht auf die Babylonier zurück, die ein Zahlensystem mit der Basis 60 verwendeten. Ein weiteres Winkelmaß ist das Bogenmaß. Die Einheit des Bogenmaßes wird als Radiant (rad) bezeichnet. Wird die Einheit des Winkels weggelassen, dann ist in diesem Buch das Bogenmaß gemeint. Das Bogenmaß Das Bogenmaß eines Winkels ist das Verhältnis der Länge des zum Winkel gehörigen Kreisbogens b und dessen Radius r: α rad = b _ r . Ist r = 1, dann gilt α rad = b _ 1 = b. In nebenstehender Abbildung ist ein Kreissektor und sein Kreisbogen mit einem Winkel α und einem beliebigen Radius r abgebildet. Wie im Merkkasten bereits erklärt, entspricht das Bogenmaß der Länge des Kreisbogens mit demselben Winkel und dem Radius 1. Um zwischen den Winkelmaßen Gradmaß und Bogenmaß zu wechseln, berechnet man also die Länge des zu einem Winkel gehörigen Kreisbogens am Einheitskreis. Kompetenzen Vorwissen t 423 Merke A b r Bogenmaß von α A Bogenlänge mit Zentriwinkel α und Radius r r = 1 r α Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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