FA-R 5.1 FA-R 5.3 FA-R 5.5 AN-R 1.1 FA-R 5.6 FA-R 5.1 FA-R 2.1 FA-R 5.3 105 Weg zur Matura Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Bevölkerungsentwicklung In der Graphik sieht man die Bevölkerungsentwicklung B einer Stadt in Abhängigkeit der seit dem Jahr 2010 vergangenen Jahre (t). In der Tabelle sind genaue Daten zu bestimmten Jahren ablesbar. Jahr Bevölkerung 2011 3 323 2013 4 550 2016 7 670 2018 8 868 a) 1) Erkläre anhand der Daten der Tabelle, warum in den ersten sechs Jahren ein exponentielles Wachstumsmodell angenommen werden kann. 2) Stelle ein Wachstumsgesetz mit Hilfe der Werte von 2011 und 2013 in der Form B(t) = a·bt auf (t ist die Anzahl der seit dem Jahr 2010 vergangenen Jahre). b) 1) Stelle mit Hilfe der Werte von 2016 und 2018 ein lineares Wachstumsmodell auf (t ist die Anzahl der seit dem Jahr 2010 vergangenen Jahre). c) 1) Ein exponentielles Wachstumsgesetz wird durch folgende Modelle beschrieben: B(t) = a·bt und A(t) = c·er·t, wobei B (t) = A(t) für alle t gilt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen a und c? Wie kann man r mit Hilfe von b berechnen? Radioaktives Element Der Graph beschreibt die Entwicklung N (in Gramm) eines radioaktiven Elements in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren). a) 1) Stelle aufgrund der Informationen N (0) = 60 und N(2) = 50,45ein Abnahmegesetz in der Form N (t) = a·bt auf. 2) Erkläre die Bedeutung der Parameter a und b. b) 1) Leite eine Formel zur Berechnung der Halbwertszeit eines Prozesses her, der durch N(t) = a·eλ·t beschrieben wird. c) 1) Ergänze so, dass ein mathematisch richtiger Satz entsteht. Bei einer Exponentialfunktion der Form N (t) = a·bt ist (1) im Intervall [r; r + h], h > 0immer (2) . (1) (2) die absolute Änderung b h die mittlere Änderungsrate b h − 1 die relative Änderung a M2 412 K M2 413 t B(t) 1234567891011 –1 2000 4000 6000 8000 10000 0 B t N(t) 2 4 6 8 10 20 40 60 0 N Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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